Warunkowa wartość oczekiwana

Warunkowa wartość oczekiwana – podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa. Jest to odmiana tradycyjnego pojęcia wartości oczekiwanej, znanej czy to z rachunku prawdopodobieństwa, czy to ze statystyki. Różnica jest taka, że obliczamy ją pod warunkiem, że pewne zdarzenie już zaszło, a więc zamiast standardowego prawdopodobieństwa używamy prawdopodobieństwa warunkowego.

Założenia

Niech $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym $P_{𝑨}.$ Niech również $X\in L^1(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ będzie zmienną losową,

gdzie $L^1(\mathrm{\Omega },ℱ,P):=\{X:\mathrm{\Omega }\to ℝ:X$ jest mierzalna $\wedge 𝔼|X|<+\mathrm{\infty }\}.$

$𝐀\in ℱ$ jest zdarzeniem takim, że $𝐏(A)>0.$

Definicje

• Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:

$𝔼(X|A)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }X(\omega )d{\mathbb{P}}_A$

Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:

$𝔼(X|A)=\frac{1}{P(A)}\underset{A}{\int }X(\omega )d\mathbb{P}$

• Niech $𝒢$ będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała $𝒢$ nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:

1) $𝔼(X|𝒢)$ jest $𝒢$-mierzalna,

2) $\underset{A}{\int }E(X|𝒢)d\mathbb{P}=\underset{A}{\int }Xd\mathbb{P},$ dla dowolnego $A\in 𝒢.$

Dla dowolnego σ-ciała $𝒢\subseteq ℱ$ i zmiennej losowej całkowalnej $X\in L^1(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ istnieje $𝔼(X|𝒢)$ i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.

• Szczególny przypadek poprzedniego.

Niech $\mathrm{\Omega }=\bigcup _{i\in I}{A}_i,$ gdzie $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing },i\ne j,$ i niech $𝒢=\sigma (\{A_i:i\in I\}).$ Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała $𝒢$ jest równa:

$𝔼(X|𝒢)=\sum _{i\in I}𝔼(X|A_i)\cdot {\mathrm{𝟏}}_{A_i}$

Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.

Własności

Niech $X,Y\in L^1(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ i niech $𝒢\subseteq ℱ$ będzie σ-ciałem. Wówczas:

• Jeśli $X$ jest $𝒢$-mierzalna, to $𝔼(X|𝒢)=X,$

• $X⩽Y\Rightarrow 𝔼(X|𝒢)⩽𝔼(Y|𝒢),$

• $a,b\in ℝ\Rightarrow 𝔼(aX+bY|𝒢)=a𝔼(X|𝒢)+b𝔼(Y|𝒢),$

• $|𝔼(X|𝒢)|⩽𝔼(|X||𝒢),$

• Dla dowolnego $\mathscr{H}\subseteq 𝒢$ mamy:

$𝔼(X|\mathscr{H})=𝔼(𝔼(X|\mathscr{H})|𝒢)=𝔼(𝔼(X|𝒢)|\mathscr{H}),$

• $X_n\to X⟹𝔼(X_n|𝒢)\to 𝔼(X|𝒢),$

• $𝔼(𝔼(X|𝒢))=𝔼X,$

• Jeśli $X$ jest niezależna od $𝒢$ (tzn. σ$(X)$ i $𝒢$ są niezależne), to:

$𝔼(X|𝒢)=𝔼X,$

• Jeśli $Y$ jest ograniczoną zmienną $𝒢$-mierzalną, to:

$𝔼(YX|𝒢)=Y𝔼(X|𝒢).$

Zobacz też

• wartość oczekiwana
• prawdopodobieństwo
• prawdopodobieństwo warunkowe

Literatura

• Szablon:Cytuj książkę