Wahanie funkcji

Szablon:Dopracować Wahaniem funkcji $f:[a,b]\to ℝ$ na przedziale $[a,b]$ nazywamy wielkość

$V_b^a(f)=\sup \sum _{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|.$

gdzie supremum jest brane po wszystkich podziałach $P=\{a=x_0<\dots <x_n=b\}$ przedziału $[a,b].$ Jeśli funkcja $f:[a,b]\to ℝ$ ma skończone wahanie, to mówimy, że $f$ jest funkcją o wahaniu skończonym.

Każda funkcja o wahaniu skończonym daje się przedstawić jako różnica dwóch funkcji niemalejących. Stąd wynika, że funkcje o wahaniu skończonym mają jedynie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości i są różniczkowalne prawie wszędzie.

Przykłady

Jeśli funkcja $f:[a,b]\to ℝ$ jest monotoniczna, to $V_b^a(f)=|f(b)-f(a)|.$

Jeśli $f$ jest funkcją charakterystyczną zbioru $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ wszystkich liczb wymiernych z przedziału $[0,1],$ to $V_0^1(f)=\mathrm{\infty }.$

Niech $f:[0,1]\to ℝ$ będzie dana wzorem $f(x)=x\sin (\pi /x)$ dla $x\in (0,1]$ i $f(0)=0.$ Wówczas $f$ jest funkcją ciągłą, która nie ma wahania skończonego.

Natomiast funkcja $f:[0,1]\to ℝ$ dana wzorem $f(x)=x^2\sin (\pi /x)$ dla $x\in (0,1]$ i $f(0)=0$ ma wahanie skończone.