Miara zespolona

Miara zespolona – szczególny przypadek przeliczalnie addytywnej miary wektorowej. Przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów, określona na pewnym σ-ciele o wartościach w zbiorze liczb zespolonych. Dla miar zespolonych, podobnie jak dla miar wektorowych, definiuje się pojęcie wahania i półwahania miary zespolonej. Wszystkie twierdzenia prawdziwe dla miar wektorowych przeliczalnie addytywnych (o wartościach w przestrzeni Banacha – gdy to założenie jest potrzebne) są prawdziwe, w szczególności, dla miar zespolonych.

Definicja

Jeśli $ℱ$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M,$ to funkcję $\nu :ℱ\to ℂ,$ spełniającą warunek

$\nu (\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\nu (A_n)$

dla każdego ciągu $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała $ℱ,$ nazywamy miarą zespoloną.

Postać biegunowa

Jeżeli $\nu :ℱ\to ℂ$ jest miarą zespoloną, określoną na σ-ciele podzbiorów zbioru $M,$ to istnieje wówczas funkcja mierzalna $h$ taka, że $|h(x)|=1$ dla $x\in M$ oraz $d\nu =hd|\nu |,$ gdzie $|\nu |$ oznacza wahanie miary zespolonej $\nu .$

Poprzez analogię do przedstawienia liczby zespolonej w postaci iloczynu jej modułu przez liczbę o module równym $1,$ równanie to jest czasem nazywane postacią biegunową (lub rozkładem biegunowym) miary $\nu .$

Bibliografia

• Rudin, W., Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986, Szablon:ISBN.