Przestrzeń c0

Przestrzeń c₀ – przestrzeń Banacha wszystkich ciągów liczbowych $({\xi }_k)$ zbieżnych do 0 z normą supremum, to znaczy

$\Vert ({\xi }_k{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert =\underset{k\in \mathbb{N}}{\sup }|{\xi }_k|.$

Przestrzeń $c_0$ może być w naturalny sposób utożsamiona z podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich ciągów ograniczonych ℓ_∞, a także z przestrzenią funkcji ciągłych znikających w nieskończoności na zbiorze liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Własności

• Przestrzeń $c_0$ jest ośrodkową przestrzenią Banacha.
• Przestrzeń ta ma bazę Schaudera. Rodzina ciągów $(e_n),$ które na $n$-tym miejscu mają jedynkę, a poza tym są równe zeru jest bezwarunkową bazą Schaudera tej przestrzeni. Baza ta nazywana jest kanoniczną bazą w przestrzeni $c_0.$

Dowód. Niech $x=({\xi }_k)\in c_0$ oraz dla każdego $n$ niech $S_n={\xi }_1{e}_1+\dots +{\xi }_n{e}_n.$ Mamy

$\Vert x-S_n\Vert =\Vert (0,0,\dots ,0,{\xi }_{n+1},{\xi }_{n+2},{\xi }_{n+2},\dots )\Vert =\underset{k⩾n+1}{\sup }|{\xi }_k|\to 0$

ponieważ ciąg $({\xi }_k)$ jest zbieżny do 0. Oznacza to, że

$x=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_k{e}_k.$

Ponieważ powyższe przedstawienie jest jednoznaczne $(e_n)$ jest istotnie bazą Schaudera w $c_0.$ Bezwarunkowość tej bazy wynika z następującej obserwacji. Dla każdego ciągu skalarów $({\epsilon }_k)$ spełniających warunek $|{\epsilon }_k|=1$ dla każdego $k$ zachodzi

$\underset{k\in \mathbb{N}}{\sup }|{\epsilon }_k{\xi }_k|=\underset{k\in \mathbb{N}}{\sup }|{\epsilon }_k||{\xi }_k|=\underset{k\in \mathbb{N}}{\sup }|{\xi }_k|=\Vert x\Vert .$

Oznacza to, że $(e_n)$ jest bezwarunkową bazą Schaudera ze stałą 1.

• Domknięta kula jednostkowa przestrzeni $c_0$ nie zawiera punktów ekstremalnych. Z twierdzenia Krejna-Milmana wynika, że $c_0$ nie jest izometryczna z żadną przestrzenią sprzężoną. W szczególności, przestrzeń $c_0$ nie jest refleksywna.
• Indeks Szlenka przestrzeni $c_0$ wynosi $\omega .$
• Każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni $c_0$ zawiera podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią $c_0.$
• Twierdzenie Sobczyka mówi, że każda podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni Banacha $X,$ która jest izomorficzna z $c_0$ jest komplementarna w $X,$ tj. istnieje ograniczony rzut z $X$ na tę podprzestrzeń. Z drugiej strony, żadna podprzestrzeń izomorficzna z $c_0$ przestrzeni ${\ell }_{\mathrm{\infty }}$ nie jest komplementarna.
• Przestrzeń $c_0$ jest izomorficzna z przestrzenią $c$ wszystkich ciągów zbieżnych poprzez izomorfizm $T:c\to c_0$ dany wzorem $T(a)=a-\lim a.$ Przestrzeń $c_0$ jest izomorficzna również z przestrzenią cs szeregów sumowalnych.

Dualność

• Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni $c_0$ utożsamia się w sposób izometryczny z przestrzenią ℓ₁. Dualność ta wyznaczona jest przez związek

$⟨x,y⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n{y}_n(x=(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in c_0,y=(y_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_1).$

• Przestrzeń $c_0$ nie jest słabo ciągowo zupełna.

Dowód. Ciąg $(u_n)$ elementów przestrzeni $c_0$ danych wzorami

$u_n=(\underset{n}{\underbrace{1,1,\dots ,1}},0,0,\dots )$

jest słabym ciągiem Cauchy’ego, gdyż dla każdego ciągu $y=(y_n)\in {\ell }_1$ granica $\lim ⟨u_n,y⟩$ istnieje i równa się ${\mathrm{\Sigma }}_n{y}_n.$ Ciąg $(u_n)$ nie jest jednak słabo zbieżny.

Operatory o wartościach w c₀

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ograniczone operatory liniowe $T:X\to c_0$ są we wzajemnej odpowiedniości z ciągiami $(f_n)$ w przestrzeni sprzężonej $X^{*},$ które są *-słabo zbieżne do 0. Istotnie, jeżeli $T:X\to c_0$ jest ograniczonym operatorem liniowym, to ciąg $(T^{*}{e}_n^{*})$ w $X^{*}$ jest *-słabo zbieżny do 0, przy czym $(e_n^{*})$ oznacza kanoniczną bazę ${\ell }_1$ utożsamioną z przestrzenią sprzężoną do $c_0.$ Z drugiej strony, jeżeli $(f_n)$ jest ciągiem *-słabo zbieżnym do 0, to operator $T:X\to c_0$ dany wzorem $Tx=⟨x,f_n⟩,$ gdzie $x\in X,$ jest liniowy i ograniczony.

Uogólnienie

Dla dowolnego zbioru $\mathrm{\Gamma }$ można zdefiniować przestrzeń

$c_0(\mathrm{\Gamma })=\{f:\mathrm{\Gamma }\to ℂ:\text{dla każdego }\epsilon >0\text{ zbiór }\{s\in \mathrm{\Gamma }:|f(s)|⩾\epsilon \}\text{ jest skończony}\},$

wyposażona w normę supremum jest przestrzenią Banacha. Dla dowolnego zbioru $\mathrm{\Gamma }$ przestrzeń ta jest typu WCG oraz

$c_0(\mathrm{\Gamma }{)}^{*}\cong {\ell }_1(\mathrm{\Gamma }).$

Gdy zbiór $\mathrm{\Gamma }$ jest przeliczalny przestrzeń ta jest izometrycznie izomorficzna z klasyczną przestrzenią $c_0.$

Przestrzeń c₀ a przestrzenie sprzężone

Przestrzeń $c_0$ nie jest izomorficzna z przestrzenią sprzężoną do żadnej przestrzeni Banacha.

Dowód. Przestrzeń Banacha $E,$ która jest izomorficzna z komplementarną podprzestrzenią pewnej przestrzeni sprzężonej $F^{*}$ jest komplementarna w $E^{**},$ gdzie $E$ utożsamia się z kanonicznym włożeniem w $E^{**}.$ Gdyby zatem przestrzeń $c_0$ była izomorficzna z pewną przestrzenią sprzężoną $F^{*},$ przeczyłoby to twierdzeniu Phillipsa-Sobczyka mówiącemu, że $c_0$ nie jest komplementarne w $c_0^{**}\cong {\ell }_{\mathrm{\infty }}.$

Bessaga i Pełczyński udowodnili w 1958 następujące twierdzenie mówiące, że

Jeżeli przestrzeń $c_0$ jest izomorficzna z podprzestrzenią $Y^{*}$ dla pewnej przestrzeni $Y,$ to $Y$ zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią ℓ₁. W szczególności, $Y^{*}$ zawiera podprzestrzeń izomorficzną z ${\ell }_{\mathrm{\infty }}.$

Szkic dowodu. Niech $T:c_0\to Y^{*}$ będzie izomorfizmem. Wówczas operator sprzężony $T^{*}:Y^{**}\to {\ell }_1$ jest suriektywny. Niech ponadto $S=T^{*}{|}_Y$ oraz niech $(e_n)$ oznacza bazę kanoniczną w obrazie operatora $T.$ Zachodzi więc

$⟨e_n,Sy⟩=⟨T{e}_n,y⟩(y\in Y,n\in \mathbb{N}).$

Stąd

$Sy=(⟨e_1,Sy⟩,⟨e_2,Sy⟩,\dots )=(⟨T{e}_1,y⟩,⟨T{e}_2,y⟩,\dots )(y\in Y).$

Z suriektywności operatora $T^{*}$ wynika, że istnieje $K>0$ oraz ciąg funkcjonałów $(y_n^{**})$ w $Y^{**}$ o tej własności, że

$\Vert y_n^{**}\Vert ⩽K,T^{*}(y_n^{**})=e_n^{*},$

gdzie $(e_n)$ oznacza bazę kanoniczną w ${\ell }_1.$ Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że zbiór $K$· $B_Y$ jest *-słabo gęsty w $K\cdot B_{Y^{**}},$ a więc istnieje taki ciąg $(y_n)$ w $Y,$ że

$\Vert y_n\Vert ⩽K(n\in \mathbb{N})$

oraz

$|⟨T{e}_n,y_n⟩-1|<\frac{1}{n},\sum _{k=1}^{n-1}|⟨T{e}_k,y_n⟩|<\frac{1}{n},$

przy czym funkcjonały $T{e}_1,\dots ,T{e}_n$ wyznaczają tutaj pewne *-słabe otoczenie $y_n^{**}.$ Zachodzi również

$⟨y_n^{**},T{e}_k⟩=⟨e_n^{*},e_k⟩={\delta }_{nk}.$

Wynika stąd, że pierwszych $n$-1 współrzędnych $S{y}_n$ jest małych w porównaniu do $n$-tej współrzędnej. Z ciągu $S{y}_n$ można więc wybrać podciąg równoważny bazie przestrzeni ℓ₁, który generuje podprzestrzeń komplementarną i izomorficzną z ${\ell }_1.$ Niech $P$ oznacza rzutowanie na podprzestrzeń generowaną przez $S{y}_n$ w ${\ell }_1.$ Wybierając ewentualnie podciąg, można dobrać taką stałą $M>0,$ że

$\Vert \sum _{k=1}^n{a}_k{y}_k\Vert ⩽K\sum _{k=1}^n|a_n|⩽KM{\Vert \sum _{k=1}^n{a}_{k}S{y}_k\Vert }_{{\ell }_1}⩽KM\Vert S\Vert \Vert \sum _{k=1}^n{a}_k{y}_k\Vert .$

Oznacza to, że operator $S$ zacieśniony do podprzestrzeni generowanej przez $(y_n)$ jest odwracalny oraz operator $Q=S^{-1}PS$ jest rzutowaniem na podprzestrzeń w $Y$ izomorficzną z ${\ell }_1,$ co kończy dowód.

Bibliografia

• G. Godefroy, The Banach space c₀, „Extracta Mathematicae”, 2001, 16, 1–25.
• Szablon:Cytuj
• J. Musielak Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989.