Operator sprzężony (przestrzenie Banacha)

Operator sprzężony – dla danego operatora liniowego i ograniczonego $T:E\to F,$ działającego między przestrzeniami Banacha $E$ i $F,$ operator liniowy

$T^{\ast }:F^{\ast }\to E^{\ast }$

dany wzorem

$T^{\ast }f=f\circ T(f\in F^{\ast }),$

tj. operator spełniający warunek

$⟨T^{\ast }f,x⟩=⟨f,Tx⟩(x\in E,f\in F^{\ast })$

(symbol $E^{\ast }$ oznacza przestrzeń sprzężoną do $E,$ a symbol $⟨f,x⟩$ oznacza wartość funkcjonału $f$ w punkcie $x,$ tj. $f(x)$).

Własności

• Operator sprzężony $T^{\ast }$ jest ograniczony oraz

$\Vert T\Vert =\Vert T^{\ast }\Vert .$

Rzeczywiście,

$\begin{array}{cc}\Vert T^{\ast }f\Vert & =\sup \{⟨T^{\ast }f,x⟩:x\in E,\Vert x\Vert =1\}\\ & =\sup \{⟨f,Tx⟩:x\in E,\Vert x\Vert =1\}\\ & ⩽\sup \{\Vert f\Vert \cdot \Vert Tx\Vert :x\in E,\Vert x\Vert =1\}\\ & =\Vert f\Vert \cdot \Vert T\Vert ,\end{array}$

skąd $\Vert T^{\ast }\Vert ⩽\Vert T\Vert .$ Niech $x\in E$ będzie elementem o normie 1. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika istnienie takiego elementu $f\in F^{\ast }$ o normie 1, że $\Vert Tx\Vert =⟨f,Tx⟩$ a stąd

$\Vert Tx\Vert =⟨T^{\ast }f,x⟩⩽\Vert T^{\ast }f\Vert \cdot \Vert x\Vert ⩽\Vert T^{\ast }\Vert .$

Nierówność $\Vert T\Vert ⩽\Vert T^{\ast }\Vert$ wynika z możliwości przejścia do supremum w powyższej nierówności po wszystkich $x\in E$ o normie 1.

• Jądro operatora sprzężonego jest domknięte w topologii *-słabej przestrzeni $F^{\ast }$Szablon:Odn. Istotnie, jeżeli $T:E\to F$ jest operatorem ograniczonym oraz $(f_i)$ jest ciągiem uogólnionym w ker $T^{\ast },$ który jest zbieżny do pewnego $f\in F^{\ast }$ w topologii *-słabej, to dla każdego $x\in E$ zachodzi

$0=⟨T^{\ast }{f}_i,x⟩=⟨f_i,Tx⟩\to ⟨f,Tx⟩=⟨T^{\ast }f,x⟩,$

tj. $T^{\ast }f=0,$ czyli $f\in \ker T^{\ast }.$ W szczególności, każdy operator sprzężony $T^{\ast }:F^{\ast }\to E^{\ast }$ jest ciągły względem *-słabych topologii $F^{\ast }$ i $E^{\ast },$ odpowiednio.

• Obraz operatora $T$ jest gęsty w $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T^{\ast }$ jest iniektywny.
• Dla danego operatora ograniczonego $T:E\to F$ następujące warunki są równoważne:

1. obraz $T$ jest domknięty w $F;$
2. obraz $T^{\ast }$ jest domknięty w $E^{\ast };$
3. obraz $T^{\ast }$ jest domknięty w $E^{\ast }$ w *-słabej topologii.

Operatory sprzężone do operatorów szczególnych klas

Niech $T$ będzie operatorem ograniczonym, działającym między przestrzeniami Banacha.

• Twierdzenie Schaudera: Operator $T$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T^{\ast }$ jest zwarty.
• Twierdzenie Gantmacher: Operator $T$ jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T^{\ast }$ jest słabo zwarty.
• Jeżeli $T$ jest ściśle singularny, to $T^{\ast }$ jest ściśle kosingularny. Jeżeli $T$ jest ściśle kosingularny, to $T^{\ast }$ jest ściśle singularny.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę