Operator sprzężony (przestrzenie Banacha)

Operator sprzężony – dla danego operatora liniowego i ograniczonego $T : E \to F,$ działającego między przestrzeniami Banacha $E$ i $F,$ operator liniowy

T^{*} : F^{*} \to E^{*}

dany wzorem

T^{*} f = f \circ T (f \in F^{*}),

tj. operator spełniający warunek

⟨ T^{*} f, x ⟩ = ⟨ f, T x ⟩ (x \in E, f \in F^{*})

(symbol $E^{*}$ oznacza przestrzeń sprzężoną do $E,$ a symbol $⟨ f, x ⟩$ oznacza wartość funkcjonału $f$ w punkcie $x,$ tj. $f (x)$ ).

Własności

‖ T ‖ = ‖ T^{*} ‖ .

Rzeczywiście,

\begin{matrix} ‖ T^{*} f ‖ & = \sup {⟨ T^{*} f, x ⟩ : x \in E, ‖ x ‖ = 1} \\ = \sup {⟨ f, T x ⟩ : x \in E, ‖ x ‖ = 1} \\ ⩽ \sup {‖ f ‖ \cdot ‖ T x ‖ : x \in E, ‖ x ‖ = 1} \\ = ‖ f ‖ \cdot ‖ T ‖, \end{matrix}

skąd

‖ T^{*} ‖ ⩽ ‖ T ‖ .

Niech

x \in E

będzie elementem o normie 1. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika istnienie takiego elementu

f \in F^{*}

o normie 1, że

‖ T x ‖ = ⟨ f, T x ⟩

a stąd

‖ T x ‖ = ⟨ T^{*} f, x ⟩ ⩽ ‖ T^{*} f ‖ \cdot ‖ x ‖ ⩽ ‖ T^{*} ‖ .

Nierówność

‖ T ‖ ⩽ ‖ T^{*} ‖

wynika z możliwości przejścia do supremum w powyższej nierówności po wszystkich

x \in E

o normie 1.

Jądro operatora sprzężonego jest domknięte w topologii *-słabej przestrzeni $F^{*}$ Szablon:Odn. Istotnie, jeżeli $T : E \to F$ jest operatorem ograniczonym oraz $(f_{i})$ jest ciągiem uogólnionym w ker $T^{*},$ który jest zbieżny do pewnego $f \in F^{*}$ w topologii *-słabej, to dla każdego $x \in E$ zachodzi

0 = ⟨ T^{*} f_{i}, x ⟩ = ⟨ f_{i}, T x ⟩ \to ⟨ f, T x ⟩ = ⟨ T^{*} f, x ⟩,

tj.

T^{*} f = 0,

czyli

f \in \ker T^{*} .

W szczególności, każdy operator sprzężony

T^{*} : F^{*} \to E^{*}

jest ciągły względem *-słabych topologii

F^{*}

i

E^{*},

odpowiednio.

Obraz operatora $T$ jest gęsty w $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T^{*}$ jest iniektywny.
Dla danego operatora ograniczonego $T : E \to F$ następujące warunki są równoważne:

Niech $T$ będzie operatorem ograniczonym, działającym między przestrzeniami Banacha.

Twierdzenie Schaudera: Operator $T$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T^{*}$ jest zwarty.
Twierdzenie Gantmacher: Operator $T$ jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T^{*}$ jest słabo zwarty.
Jeżeli $T$ jest ściśle singularny, to $T^{*}$ jest ściśle kosingularny. Jeżeli $T$ jest ściśle kosingularny, to $T^{*}$ jest ściśle singularny.