Operator ściśle singularny

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator ściśle singularny (operator Kato) – operator liniowy i ograniczony T między przestrzeniami Banacha X i Y o tej własności, że dla każdej skończenie wymiarowej podprzestrzeni D przestrzeni X i dla każdej dodatniej liczby ε istnieje taki wektor x o normie 1 należący do D, że

‖Tx‖<ε.

Mówiąc obrazowo, operator ściśle singularny, to taki operator ograniczony, który nie działa jako izomorfizm na żadnej domkniętej nieskończenie wymiarowej podprzestrzeni swojej dziedziny. Klasa operatorów ściśle singularnych została wyróżniona w 1958 roku przez Tosio Kato[1].

Rodzinę operatorów ściśle singularnych między przestrzeniami X i Y oznacza się na ogół symbolem

𝒮(X,Y)

(bądź S(X), gdy X=Y).

Własności

  • Zbiór S(X) jest domkniętym ideałem w algebrze B(X) wszystkich operatorów ograniczonych na X. Ideał ten zawiera ideał K(X) wszystkich operatorów zwartych. Jeżeli X jest (niekoniecznie ośrodkową) przestrzenią Hilberta bądź X=ℓp(przestrzeń Lp)[2][3] bądź X=c0 (przestrzeń c0) lub X jest p-tą przestrzenią Jamesa (1<p<∞)[4], to ideał operatorów ściśle singularnych na X pokrywa się z ideałem operatorów zwartych. Istnieją przestrzenie Banacha X dla których ideał S(X) jest ściśle większy od K(X), na przykład, X=ℓp⊕ℓq przy 1<p<q<∞[5].
  • W przeciwieństwie do natury operatorów (słabo) zwartych, operator sprzężony do operatora ściśle singularnego nie musi być ściśle singularny[6] (por. twierdzenie Gantmacher).
  • W.T. Gowers i B. Maurey podali jako pierwsi przykład nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha E o tej własności, że każda podprzestrzeń komplementarna jest skończenie wymiarowa oraz każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni E również ma tę własność[7] (tzw. dziedzicznie nierozkładalna przestrzeń Banacha lub przestrzeń HI). Każdy operator ograniczony T:E→E na zespolonej przestrzeni HI E może być zapisany w postaci T=cI+S, gdzie c jest pewnym skalarem, I operatorem identyczności, a S pewnym operatorem ściśle singularnym na E.

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

  • A. Pietsch, Operator ideals, North-Holland Math. Lib. 20, North-Holland, 1980.
  1. ↑ T. Kato, Perturbation theory for nullity deficiency and other quantities of linear operators, J. Analyse Math. 6 (1958), s. 273–322.
  2. ↑ B. Gramsch, Eine Idealstruktur Banachscher Operatoralgebren, J. Reine Angew. Math. 225 (1967), s. 97–115.
  3. ↑ E. Luft, The two-sided closed ideals of the algebra of bounded linear operators of a Hilbert space, Czechoslovak Math. J. 18 (1968), s. 595–605.
  4. ↑ N.J. Laustsen, Maximal ideals in the algebra of operators on certain Banach spaces, Proc. Edinburgh Math. Soc. 45 (2002), s. 523–546.
  5. ↑ H. Porta, Factorable and strictly singular operators, I, Studia Math. 37 (1971), s. 237–243.
  6. ↑ S. Goldberg, E. Thorp, On some open questions concerning strictly singular operators, Proc. Amer. Math. Soc. 14 (1963), s. 334–336.
  7. ↑ W.T. Gowers, B. Maurey, The unconditional basic sequence problem, J. Amer. Math. Soc., 6 (1993), s. 851–874.
Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Operator_ściśle_singularny&oldid=6105”