Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym

Twierdzenie Schaudera – twierdzenie analizy funkcjonalnej udowodnione w 1930 przez Juliusza Schaudera^[1] i mówiące, że operator liniowy między przestrzeniami Banacha jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony również jest zwarty. W 1951 Shizuo Kakutani udowodnił twierdzenie Schaudera^[2] w oparciu o twierdzenie Arzeli-Ascolego.

Odpowiednikiem twierdzenia Schaudera dla operatorów słabo zwartych jest twierdzenie Gantmachier.

Wersja dowodu Kakutaniego w oparciu o twierdzenie Arzeli-Ascolego

Niech $E$ i $F$ będą przestrzeniami Banacha oraz niech $T : E \to F$ będzie operatorem liniowym. Twierdzenie Schaudera mówi, że $T : E \to F$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T^{*} : F^{*} \to E^{*}$ jest zwarty.

Przypadek, gdy $T$ jest operatorem zwartym, tj. z każdego ciągu $(x_{n})$ elementów kuli jednostkowej $B$ przestrzeni $E$ można z ciągu wartości $(T x_{n})$ wybrać podciąg zbieżny w $F .$ By wykazać zwartość operatora sprzężonego $T^{*}$ należy ustalić ciąg elementów $(f_{n})$ kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej $F^{*}$ i wykazać, że ciąg $(T^{*} f_{n})$ ma podciąg zbieżny. Ze zwartości operatora $T$ wynika zwartość domknięcia obrazu $T (B) .$ Niech zatem $K$ oznacza domknięcie zbioru $T (B) .$ Dla wszystkich liczb naturalnych $n$ restrykcja $f_{n}^{*}$ do $K$ jest ciągła. Z liniowości i wspólnej ograniczności przez 1 funkcjonałów $f_{n}$ wynika równociągłość ich restrykcji do $K .$ Rzeczywiście,

‖ f_{n} (x) - f_{n} (y) ‖ = ‖ f_{n} (x - y) ‖ ⩽ ‖ x - y ‖ (x, y \in K, n \in ℕ) .

Z twierdzenia Arzeli-Ascolego wynika istnienie podciągu

(f_{n_{k}})

ciągu

(f_{n}),

który jest zbieżny jednostajnie na

K .

Ostatecznie,

‖ T^{*} f_{n_{i}} - T^{*} f_{n_{j}} ‖ = \sup_{x \in B} ‖ f_{n_{i}} (T x) - f_{n_{j}} (T x) ‖ = \sup_{z \in K} | f_{n_{i}} (z) - f_{n_{j}} (z) | (i, j \in ℕ) .

Ze zbieżności ciągu

(f_{n_{k}} |_{K})

wynika, że ciąg

(T^{*} f_{n_{k}})

jest ciągiem Cauchy’ego w

E^{*},

a więc z zupełności przestrzeni sprzężonych, jest on zbieżny.

Przypadek, gdy $T^{*}$ jest operatorem zwartym. Z udowodnionej wyżej implikacji wynika, że operator $T^{* *} : E^{* *} \to F^{* *}$ jest zwarty. Wówczas

T = κ_{F}^{- 1} T^{* *} |_{κ_{E} (E)},

gdzie

κ_{X} : X \to X^{* *}

oznacza kanoniczne włożenie przestrzeni Banacha

X

w swoją drugą przestrzeń sprzężoną. Ostatecznie operator

T

jest zwarty jako złożenie z restrykcją operatora zwartego (która sama wówczas jest zwarta)Szablon:Odn Szablon:Odn.

Dowód w oparciu o twierdzenie Banacha-Alaoglu

Niech $E$ i $F$ będą przestrzeniami Banacha oraz niech $T : E \to F$ będzie operatorem zwartym. By wykazać zwartość operatora sprzężonego $T^{*},$ bez straty ogólności można przyjąć, że przestrzeń $F$ jest ośrodkowa, ponieważ obraz operatora zwartego jest ośrodkowySzablon:Odn. Z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że kule domknięte w przestrzeni $F^{*}$ są zwarte w topologii *-słabej. Z ośrodkowości przestrzeni $F$ wynika metryzowalność topologii *-słabej na kulach domkniętych w $F^{*} .$ Niech $(f_{n})$ będzie ciągiem z kuli jednostkowej w $F^{*},$ która jest zwarta i metryzowalna w *-słabej topologii. Ponieważ metryzowalne przestrzenie zwarte są ciągowo zwarte $(f_{n})$ ma podciąg $(f_{n_{k}})$ *-słabo zbieżny do pewnego elementu $f \in F^{*}$ (który również należy do kuli jednostkowej $F^{*}$ ). By udowodnić zwartość operatora $T^{*}$ wystarczy wykazać, że ciąg $(T^{*} f_{n_{k}})$ jest zbieżny (w normie).

Niech $B$ będzie kulą jednostkową w $E$ oraz niech $ε > 0 .$ Z całkowitej ograniczoności obrazu $T (B)$ wynika istnienie takich elementów $y_{1}, \dots, y_{m} \in F,$ że

T (B) \subseteq ⋃_{j = 1}^{m} {y \in F : ‖ y - y_{j} ‖ < \frac{ε}{3}} .

Z *-słabej zbieżności ciągu $(f_{n_{k}})$ do $f$ wynika istnienie takiego $N ⩾ 1,$ że dla $n_{k} ⩾ N$ zachodzą nierówności

| f (y) - f_{n_{k}} (y_{j}) | < \frac{ε}{3} (1 ⩽ j ⩽ m) .

Niech $x \in B .$ Istnieje wówczas takie $1 ⩽ j ⩽ m,$ że

‖ T x - y_{j} ‖ < \frac{ε}{3},

stąd

\begin{matrix} | T^{*} f (x) - T^{*} f_{n_{k}} (x) | & = & | f (T x) - f_{n_{k}} (T x) | \\ ⩽ & | (f - f_{n_{k}}) (T x - y_{j}) | + | (f - f_{n_{k}}) (y_{j}) | \\ ⩽ & 2 ‖ T x - y_{j} ‖ + \frac{ε}{3} ⩽ ε . \end{matrix}

Ostatecznie

‖ T^{*} f - T^{*} f_{n_{k}} ‖ = \sup_{x \in B} | T^{*} f (x) - T^{*} f_{n_{k}} (x) | ⩽ ε

dla $n_{k} ⩾ N .$ Oznacza to, że ciąg $(T^{*} f_{n_{k}})$ jest zbieżny do $T^{*} f$ Szablon:Odn.

Przypadek gdy $T^{*}$ jest operatorem zwartym nie ma odrębnego dowodu i dowodzony jest jak w poprzednim ustępie.

Dowód w szczególnym przypadku przestrzeni Hilberta

Twierdzenie Schaudera zachodzi także dla operatorów na przestrzeniach Hilberta w sensie sprzężenia operatorów na przestrzeni Hilberta. Jako takie jest ono wnioskiem z udowodnionej wyżej wersji twierdzenia Schaudera. Rzeczywiście, jeżeli $T^{⋆}$ oznacza sprzężenie operatora na przestrzeni Hilberta $H,$ to

T^{⋆} = U^{- 1} T^{*} U

Szablon:Odn,

gdzie $U : H \to H^{*}$ jest antyliniowym izomorfizmem przestrzeni Hilberta $H$ i $H^{*}$ (zob. twierdzenie Riesza). Korzystając z refleksywności przestrzeni Hilberta, można podać jednak krótszy dowód.

Niech $T : H \to H$ będzie operatorem zwartym oraz niech $(x_{n})$ będzie ciągiem w kuli jednostkowej $B$ przestrzeni $H .$ Wówczas, z refleksywności przestrzeni $H,$ ciąg ten ma podciąg $(x_{n_{k}})$ słabo zbieżny do pewnego $x \in H .$ Wystarczy wykazać, że ciąg $(T^{⋆} x_{n})$ ma zbieżny podciąg.

Zachodzą następujące oszacowania:

\begin{matrix} ‖ T^{⋆} (x_{n_{k}} - x) ‖^{2} & = ⟨ T^{⋆} (x_{n_{k}} - x), T^{⋆} (x_{n_{k}} - x) ⟩ \\ = ⟨ x_{n_{k}} - x, T T^{⋆} (x_{n_{k}} - x) ⟩ \\ ⩽ ‖ x_{n_{k}} - x ‖ \cdot ‖ T T^{⋆} (x_{n_{k}} - x) ‖ \\ ⩽ 2 \cdot ‖ T T^{⋆} (x_{n_{k}} - x) ‖ . \end{matrix}

Ponieważ ciągłe operatory liniowe zachowują słabą zbieżność ciągów, ciąg

(T T^{⋆} (x_{n_{k}} - x))

jest słabo zbieżny do 0. Ze zwartości operatora

T

wynika, że ciąg ten ma podciąg zbieżny do 0 w

H .

Z powyższej nierówności wynika, że i sam ciąg

(T^{⋆} (x_{n_{k}} - x))

ma podciąg zbieżny do 0 w normie, a więc z liniowości, ostatecznie sam ciąg

(T^{⋆} x_{n})

ma podciąg zbieżny.

Zobacz też

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

↑ J. Schauder, Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen, „Studia Math.” 2 (1930), s. 183–196.
↑ S. Kakutani, A proof of Schauder’s theorem, „J. Math. Soc. Japan” 3 (1951), s. 228–231.

[1] J. Schauder, Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen, „Studia Math.” 2 (1930), s. 183–196.

[2] S. Kakutani, A proof of Schauder’s theorem, „J. Math. Soc. Japan” 3 (1951), s. 228–231.

[1]

[2]

Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym

Spis treści

Wersja dowodu Kakutaniego w oparciu o twierdzenie Arzeli-Ascolego

Dowód w oparciu o twierdzenie Banacha-Alaoglu

Dowód w szczególnym przypadku przestrzeni Hilberta

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym

Wersja dowodu Kakutaniego w oparciu o twierdzenie Arzeli-Ascolego

Dowód w oparciu o twierdzenie Banacha-Alaoglu

Dowód w szczególnym przypadku przestrzeni Hilberta

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Szukaj