Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Schaudera – twierdzenie analizy funkcjonalnej udowodnione w 1930 przez Juliusza Schaudera[1] i mówiące, że operator liniowy między przestrzeniami Banacha jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony również jest zwarty. W 1951 Shizuo Kakutani udowodnił twierdzenie Schaudera[2] w oparciu o twierdzenie Arzeli-Ascolego.

Odpowiednikiem twierdzenia Schaudera dla operatorów słabo zwartych jest twierdzenie Gantmachier.

Wersja dowodu Kakutaniego w oparciu o twierdzenie Arzeli-Ascolego

Niech E i F będą przestrzeniami Banacha oraz niech T:E→F będzie operatorem liniowym. Twierdzenie Schaudera mówi, że T:E→F jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator T∗:F∗→E∗ jest zwarty.

  • Przypadek, gdy T jest operatorem zwartym, tj. z każdego ciągu (xn) elementów kuli jednostkowej B przestrzeni E można z ciągu wartości (Txn) wybrać podciąg zbieżny w F. By wykazać zwartość operatora sprzężonego T∗ należy ustalić ciąg elementów (fn) kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej F∗ i wykazać, że ciąg (T∗fn) ma podciąg zbieżny. Ze zwartości operatora T wynika zwartość domknięcia obrazu T(B). Niech zatem K oznacza domknięcie zbioru T(B). Dla wszystkich liczb naturalnych n restrykcja fn∗ do K jest ciągła. Z liniowości i wspólnej ograniczności przez 1 funkcjonałów fn wynika równociągłość ich restrykcji do K. Rzeczywiście,
‖fn(x)−fn(y)‖=‖fn(x−y)‖⩽‖x−y‖(x,y∈K,n∈ℕ).
Z twierdzenia Arzeli-Ascolego wynika istnienie podciągu (fnk) ciągu (fn), który jest zbieżny jednostajnie na K. Ostatecznie,
‖T∗fni−T∗fnj‖=supx∈B‖fni(Tx)−fnj(Tx)‖=supz∈K|fni(z)−fnj(z)|(i,j∈ℕ).
Ze zbieżności ciągu (fnk|K) wynika, że ciąg (T∗fnk) jest ciągiem Cauchy’ego w E∗, a więc z zupełności przestrzeni sprzężonych, jest on zbieżny.
  • Przypadek, gdy T∗ jest operatorem zwartym. Z udowodnionej wyżej implikacji wynika, że operator T∗∗:E∗∗→F∗∗ jest zwarty. Wówczas
T=κF−1T∗∗|κE(E),
gdzie κX:X→X∗∗ oznacza kanoniczne włożenie przestrzeni Banacha X w swoją drugą przestrzeń sprzężoną. Ostatecznie operator T jest zwarty jako złożenie z restrykcją operatora zwartego (która sama wówczas jest zwarta)Szablon:OdnSzablon:Odn.

Dowód w oparciu o twierdzenie Banacha-Alaoglu

Niech E i F będą przestrzeniami Banacha oraz niech T:E→F będzie operatorem zwartym. By wykazać zwartość operatora sprzężonego T∗, bez straty ogólności można przyjąć, że przestrzeń F jest ośrodkowa, ponieważ obraz operatora zwartego jest ośrodkowySzablon:Odn. Z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że kule domknięte w przestrzeni F∗ są zwarte w topologii *-słabej. Z ośrodkowości przestrzeni F wynika metryzowalność topologii *-słabej na kulach domkniętych w F∗. Niech (fn) będzie ciągiem z kuli jednostkowej w F∗, która jest zwarta i metryzowalna w *-słabej topologii. Ponieważ metryzowalne przestrzenie zwarte są ciągowo zwarte (fn) ma podciąg (fnk) *-słabo zbieżny do pewnego elementu f∈F∗ (który również należy do kuli jednostkowej F∗). By udowodnić zwartość operatora T∗ wystarczy wykazać, że ciąg (T∗fnk) jest zbieżny (w normie).

Niech B będzie kulą jednostkową w E oraz niech ε>0. Z całkowitej ograniczoności obrazu T(B) wynika istnienie takich elementów y1,…,ym∈F, że

T(B)⊆⋃j=1m{y∈F:‖y−yj‖<ε3}.

Z *-słabej zbieżności ciągu (fnk) do f wynika istnienie takiego N⩾1, że dla nk⩾N zachodzą nierówności

|f(y)−fnk(yj)|<ε3(1⩽j⩽m).

Niech x∈B. Istnieje wówczas takie 1⩽j⩽m, że

‖Tx−yj‖<ε3,

stąd

|T∗f(x)−T∗fnk(x)|=|f(Tx)−fnk(Tx)|⩽|(f−fnk)(Tx−yj)|+|(f−fnk)(yj)|⩽2‖Tx−yj‖+ε3⩽ε.

Ostatecznie

‖T∗f−T∗fnk‖=supx∈B|T∗f(x)−T∗fnk(x)|⩽ε

dla nk⩾N. Oznacza to, że ciąg (T∗fnk) jest zbieżny do T∗fSzablon:Odn.

Przypadek gdy T∗ jest operatorem zwartym nie ma odrębnego dowodu i dowodzony jest jak w poprzednim ustępie.

Dowód w szczególnym przypadku przestrzeni Hilberta

Twierdzenie Schaudera zachodzi także dla operatorów na przestrzeniach Hilberta w sensie sprzężenia operatorów na przestrzeni Hilberta. Jako takie jest ono wnioskiem z udowodnionej wyżej wersji twierdzenia Schaudera. Rzeczywiście, jeżeli T⋆ oznacza sprzężenie operatora na przestrzeni Hilberta H, to

T⋆=U−1T∗USzablon:Odn,

gdzie U:H→H∗ jest antyliniowym izomorfizmem przestrzeni Hilberta H i H∗ (zob. twierdzenie Riesza). Korzystając z refleksywności przestrzeni Hilberta, można podać jednak krótszy dowód.

  • Niech T:H→H będzie operatorem zwartym oraz niech (xn) będzie ciągiem w kuli jednostkowej B przestrzeni H. Wówczas, z refleksywności przestrzeni H, ciąg ten ma podciąg (xnk) słabo zbieżny do pewnego x∈H. Wystarczy wykazać, że ciąg (T⋆xn) ma zbieżny podciąg.
Zachodzą następujące oszacowania:
‖T⋆(xnk−x)‖2=⟨T⋆(xnk−x),T⋆(xnk−x)⟩=⟨xnk−x,TT⋆(xnk−x)⟩⩽‖xnk−x‖⋅‖TT⋆(xnk−x)‖⩽2⋅‖TT⋆(xnk−x)‖.
Ponieważ ciągłe operatory liniowe zachowują słabą zbieżność ciągów, ciąg (TT⋆(xnk−x)) jest słabo zbieżny do 0. Ze zwartości operatora T wynika, że ciąg ten ma podciąg zbieżny do 0 w H. Z powyższej nierówności wynika, że i sam ciąg (T⋆(xnk−x)) ma podciąg zbieżny do 0 w normie, a więc z liniowości, ostatecznie sam ciąg (T⋆xn) ma podciąg zbieżny.

Zobacz też

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

  1. ↑ J. Schauder, Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen, „Studia Math.” 2 (1930), s. 183–196.
  2. ↑ S. Kakutani, A proof of Schauder’s theorem, „J. Math. Soc. Japan” 3 (1951), s. 228–231.
Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Twierdzenie_Schaudera_o_operatorze_sprzężonym&oldid=6817”