Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)

Szablon:Dopracować Szablon:Inne znaczenia Szablon:Spis treści Twierdzenie Riesza – twierdzenie analizy funkcjonalnej noszące nazwisko Frigyesa Riesza, które opisuje strukturę przestrzeni sprzężonej topologicznie do danej przestrzeni Hilberta w daleko bardziej satysfakcjonujący sposób niż ogólniejsze twierdzenie Hahna-Banacha (obowiązujące dla przestrzeni Banacha). Wśród jego nazw spotyka się oprócz nazwiska Riesza również nazwisko Maurice’a Frécheta oraz nazwy opisowe np. „o reprezentacji (funkcjonału)”, czasami również z zastrzeżeniem „w przestrzeniach Hilberta”.

Stanowi ono odwrócenie następującej obserwacji, iż dla dowolnie wybranego elementu $y$ ustalonej przestrzeni Hilberta odwzorowanie dane wzorem $x\mapsto ⟨x,y⟩$ jest (ciągłym) funkcjonałem liniowym, tj. każdy funkcjonał liniowy można przedstawić w tej postaci. Ponadto zapewnia ono o równoważności struktur unitarnych (m.in. izomorficzności jako przestrzeni liniowych oraz izometryczności jako przestrzeni unormowanych; zob. przekształcenie unitarne) przestrzeni Hilberta oraz przestrzeni sprzężonej do niej.

Twierdzenie

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym $⟨\cdot ,\cdot ⟩,$ zaś $H^{*}$ będzie przestrzenią sprzężoną do $H.$ Wówczas dla każdego funkcjonału liniowego $y^{*}\in H^{*}$ istnieje jeden i tylko jeden element $y\in H$ spełniający dla wszystkich $x\in H$ tożsamość

$y^{*}(x)=⟨x,y⟩.$

Ponadto odwzorowanie $H\to H^{*}$ dane wzorem $y\mapsto y^{*}$ jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem antyliniowym zachowującym normę; jeśli $H$ określona jest nad ciałem liczb rzeczywistych (a nie liczb zespolonych), to wspomniane odwzorowanie jest przekształceniem liniowym zachowującym normę (tzn. jest izometrią liniową, a nie antyliniową).

Dowód

W dalszej części $\mathrm{\varnothing }$ oznaczać będzie funkcjonał zerowy, czyli dany wzorem $\mathrm{\varnothing }(x)=0$ dla każdego $x\in H.$

Jeżeli $H$ jest skończonego wymiaru, to istnienie odpowiedniego $y\in H$ dla $y^{*}\in H^{*}$ wynika z jednoznaczności, gdyż iniektywne przekształcenie $(\cdot {)}^{*}:H\to H^{*}$ dane wzorem $y\mapsto y^{*}=⟨\cdot ,y⟩$ jest wtedy suriekcją, a zatem jest izomorfizmem liniowym w przypadku rzeczywistym (zob. dowód) i antyliniowym w przypadku zespolonym (zob. Antyliniowość niżej); w przeciwnym przypadku dla ogólnej przestrzeni liniowej $V$ jest $\dim V<\dim V^{*},$ ograniczenie przestrzeni sprzężonej do ciągłych funkcjonałów liniowych sprawia jednak, że $\dim H=\dim H^{*}$ na podstawie izomorfizmu $(\cdot {)}^{*}$ skonstruowanego niżej.

Istnienie

Dla $y^{*}=\mathrm{\varnothing }$ wystarczy wziąć $y=0$ i wtedy $y^{*}(x)=⟨x,0⟩=0$ dla każdego $x\in H;$ niech więc $y^{*}\ne \mathrm{\varnothing },$ wtedy $\ker y^{*}$ jest właściwą podprzestrzenią $H.$ Ponieważ $y^{*}$ jest ciągły, to zbiór $\ker y^{*}$ jest domknięty. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika, że

$H=\ker y^{*}\oplus (\ker y^{*}{)}^{\perp },$

a skoro $\ker y^{*}\ne H,$ to $(\ker y^{*}{)}^{\perp }\ne \{0\},$ a zatem można znaleźć taki element $z\in (\ker y^{*}{)}^{\perp },$ dla którego $\Vert z\Vert =1.$ Ponieważ $z\in (\ker y^{*}{)}^{\perp },$ to dla każdego $x\in H$ zachodzi

$y^{*}(x)z-y^{*}(z)x\in \ker y^{*},$

gdyż na mocy liniowości funkcjonału $y^{*}(y^{*}(x)z-y^{*}(z)x)=y^{*}(x)y^{*}(z)-y^{*}(z)y^{*}(x)=0;$ dlatego

$0=⟨y^{*}(x)z-y^{*}(z)x,z⟩=y^{*}(x)⟨z,z⟩-y^{*}(z)⟨x,z⟩=y^{*}(x)-y^{*}(z)⟨x,z⟩$

a stąd

$y^{*}(x)=⟨x,\overline{y^{*}(z)}z⟩;$

aby teza twierdzenia była spełniona, wystarczy przyjąć $y=\overline{y^{*}(z)}z,$ gdzie $\bar{w}$ oznacza sprzężenie zespolone skalara $w.$

Jednoznaczność

Niech $y_1,y_2\in H$ będą dwoma elementami, które dla każdego $x\in H$ spełniają

$y^{*}(x)=⟨x,y_1⟩=⟨x,y_2⟩;$

wówczas, z liniowości, $⟨x,y_1-y_2⟩=0$ dla każdego $x\in H,$ biorąc $x=y_1-y_2$ otrzymuje się $\Vert x\Vert =\Vert y_1-y_2\Vert =0,$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $y_1-y_2=0,$ czyli $y_1=y_2.$

Izometryczność

Iloczyn skalarny jest ciągły ze względu na pierwszą zmienną; zatem funkcjonał liniowy dany wzorem $y^{*}(x)=⟨x,y⟩$ jest ciągły, a zatem ograniczony (z charakteryzacji ograniczonych operatorów liniowych). Z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika wtedy, że

$\Vert y^{*}(x)\Vert =\Vert ⟨x,y⟩\Vert ⩽\Vert x\Vert \Vert y\Vert ,$

a więc

$\Vert y^{*}\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert y^{*}(x)\Vert ⩽\Vert y\Vert .$

Jeżeli $y=0,$ to $\Vert y^{*}\Vert =0,$ czyli $y^{*}=\mathrm{\varnothing };$ w przeciwnym przypadku dla $z=\frac{y}{\Vert y\Vert }$ otrzymuje się

$\Vert y^{*}(z)\Vert =\Vert ⟨\frac{y}{\Vert y\Vert },y⟩\Vert =\frac{1}{\Vert y\Vert }⟨y,y⟩=\frac{\Vert y{\Vert }^2}{\Vert y\Vert }=\Vert y\Vert ,$

co daje $\Vert y^{*}\Vert =\Vert y\Vert .$

Antyliniowość

Antyliniowość odwzorowania $(\cdot {)}^{*}:H\to H^{*}$ wynika wprost z własności iloczynu skalarnego, który jest antyliniowy ze względu na drugą współrzędną:

$(c{y}_1+d{y}_2{)}^{*}(x)=⟨x,c{y}_1+d{y}_2⟩=\bar{c}⟨x,y_1⟩+\bar{d}⟨x,y_2⟩=\bar{c}{y}_1^{*}(x)+\bar{d}{y}_2^{*}(x).$

Jeżeli $H$ jest rzeczywista, to iloczyn skalarny jest dwuliniowy, a nie półtoraliniowy; w tym przypadku wystarczy w powyższych równościach pominąć sprzężenie zespolone (oznaczane kreską nad elementem).

Zobacz też

• twierdzenie o rzucie ortogonalnym