Nierówność Cauchy’ego-Schwarza

Nierówność Cauchy’ego-Schwarza, Schwarza, Buniakowskiego-Schwarza lub Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza – ograniczenie górne na iloczyn skalarny dwóch wektorów w przestrzeni unitarnej wykorzystujące iloczyn norm tych wektorów, jedna z najczęściej stosowanych nierówności w matematyce.

Nierówność dla sum została opublikowana w 1821 roku przez Augustina Louisa Cauchy’ego. Odpowiadająca jej nierówność całkowa została podana niezależnie przez Wiktora Buniakowskiego i Hermanna Schwarza, odpowiednio w 1859 i w 1884 roku.

Nierówność

Jeżeli $⟨x,y⟩$ oznacza iloczyn skalarny wektorów $x,y$ danej przestrzeni unitarnej $X,$ to nierównością Schwarza nazywa się nierówność

$|⟨x,y⟩{|}^2⩽⟨x,x⟩⟨y,y⟩,$

lub, wyrażoną równoważnie za pomocą norm, nierówność

$|⟨x,y⟩|⩽\Vert x\Vert \Vert y\Vert ,$

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $x$ i $y$ są liniowo zależne, tzn. gdy istnieje taki skalar $\mathrm{r},$ że zachodzi $x=\mathrm{r}y$ lub $y=\mathrm{r}x.$

Przykłady

Dla pewnych przestrzeni liniowych i określonych w nich iloczynach skalarnych otrzymuje się użyteczne postaci tej nierówności:

• w przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^n$ z euklidesowym iloczynem skalarnym $𝐱\cdot 𝐲=x_1{y}_1+\dots +x_n{y}_n$ otrzymuje się nierówność

  $(x_1{y}_1+\dots +x_n{y}_n{)}^2⩽(x_1^2+\dots +x_n^2)(y_1^2+\dots +y_n^2),$

co można zapisać zwięźlej w postaci

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2⩽\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right);$

• w przestrzeni $C[0,1]$ funkcji ciągłych na odcinku $[0,1]$ z iloczynem skalarnym danym wzorem $\int f(x)g(x)\mathrm{d}x$ dostaje się

  ${|\int f(x)g(x)\mathrm{d}x|}^2⩽\int |f(x){|}^2\mathrm{d}x\int |g(x){|}^2\mathrm{d}x;$

• dla funkcji $f,g$ z przestrzeni L²(X) całkowalnych z kwadratem iloczyn $fg$ należy do przestrzeni L¹(X) funkcji całkowalnych z modułem oraz

  $\Vert fg{\Vert }_1⩽\Vert f{\Vert }_2\Vert g{\Vert }_2.$

Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L² jest równoważna nierówności Höldera dla $p=q=2.$ Nierówność dla ${ℝ}^n$ można dowodzić indukcyjnie bądź z tożsamości Lagrange’a.

Dowód

Nierówność jest spełniona dla $y=0,$ zatem można przyjąć, że $⟨y,y⟩\ne 0.$ Dla dowolnej liczby zespolonej $\lambda$ jest

$0⩽\Vert x-\lambda y{\Vert }^2=⟨x-\lambda y,x-\lambda y⟩=⟨x,x⟩-\bar{\lambda }⟨x,y⟩-\lambda ⟨y,x⟩+|\lambda {|}^2⟨y,y⟩.$

Wybierając

$\lambda =⟨x,y⟩⟨y,y{⟩}^{-1},$

otrzymuje się nierówność

$0⩽⟨x,x⟩-|⟨x,y⟩{|}^2⟨y,y{⟩}^{-1},$

która zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

$|⟨x,y⟩{|}^2⩽⟨x,x⟩⟨y,y⟩,$

co z uwagi na równość

$⟨x,x⟩=\Vert x{\Vert }^2,$

jest tożsame

$|⟨x,y⟩|⩽\Vert x\Vert \Vert y\Vert .$

Zobacz też

• nierówność Höldera
• nierówność trójkąta
• przestrzeń Hilberta

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Nierówność Cauchy'ego-Schwarza, kanał Khan Academy na YouTube, 15 listopada 2018 [dostęp 2024-06-22].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-06-20].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-06-20].