Nierówność Höldera

Nierówność Höldera – fundamentalna nierówność wiążąca przestrzenie Lp. Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera, została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889).

Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp, nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni $L^p$ i $L^q$ jeśli $p\ne 1$ oraz $p\ne \mathrm{\infty }.$

Nierówność Höldera

Niech $(\mathrm{\Omega },\mu )$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech $1⩽p⩽q⩽\mathrm{\infty }$ będą wykładnikami sprzężonymi, tzn.

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

Jeżeli $f\in L_p(\mathrm{\Omega },\mu )$ oraz $g\in L_q(\mathrm{\Omega },\mu ),$ to $fg\in L_1(\mathrm{\Omega },\mu )$ oraz

$\Vert f\cdot g{\Vert }_{L_1(\mathrm{\Omega },\mu )}⩽\Vert f{\Vert }_{L_p(\mathrm{\Omega },\mu )}\cdot \Vert g{\Vert }_{L_q(\mathrm{\Omega },\mu )}.$

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje $f^p$ i $g^q$ są liniowo zależne.

Najważniejsze przypadki szczególne

• Gdy $p=q=2,$ to nierówność Höldera znana jest pod nazwą nierówności Schwarza (lub Cauchy’ego-Schwarza, a w przypadku całkowym – Buniakowskiego-Schwarza).

• W przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^n$ (lub ${ℂ}^n$) nierówność Höldera przyjmuje postać:

$\sum _{k=1}^n|x_k{y}_k|⩽{(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q)}^{1/q}(x,y\in {ℂ}^n).$

• Dla elementów $x\in {\ell }_p,$ $y\in {\ell }_q:$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n\cdot y_n|⩽{(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|y_n{|}^q)}^{1/q}(x\in {\ell }_p,y\in {\ell }_q).$

• Niech $(\mathrm{\Omega },\mu )$ będzie przestrzenią z miarą. Najogólniejszą wersją nierówności Höldera (której powyższe są szczególnymi przypadkami) jest nierówność

$|\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)g(x)\mu (\text{d}x)|⩽\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(x)g(x)|\mu (\text{d}x)⩽{(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{|f(x)|}^p\mu (\text{d}x))}^{1/p}\cdot {(\int {|g(x)|}^q\mu (\text{d}x))}^{1/q}(f\in L_p(\mathrm{\Omega }),g\in L_q(\mathrm{\Omega }))$

W szczególności, gdy $\mu =P$ jest miarą probabilistyczną (tj. $(\mathrm{\Omega },P)$ jest przestrzenią probabilistyczną), nierówność tę można zapisać w postaci

$𝔼|XY|⩽{(𝔼|X{|}^p)}^{1/p}\cdot {(𝔼|Y{|}^q)}^{1/q},(X\in L_p(P),Y\in L_q(P)).$

gdzie symbol $𝔼$ oznacza wartość oczekiwaną.

Uogólnienie

Metodą indukcji matematycznej można pokazać następujące uogólnienie:

Niech $p_k⩾1,k=1,\dots ,n$ będą takie, że:

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{p_k}=1.$

Załóżmy, że $u_k\in L^{p_k}(S).$ Wtedy $\prod _{k=1}^n{u}_k\in L^1(S)$ oraz

${\Vert \prod _{k=1}^n{u}_k\Vert }_{L^1(S)}⩽\prod _{k=1}^n\Vert u_k{\Vert }_{L^{p_k}(S)}.$

Zobacz też

• warunek Höldera

Literatura

• Szablon:Cytuj książkę