Tożsamość Lagrange’a

Tożsamość Lagrange’a to następująca równość:

$\sum _{1⩽i<k⩽n}(a_i{b}_k-a_k{b}_i{)}^2=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)-{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2$

To samo, lecz inaczej:

$\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{k=i+1}^n(a_i{b}_k-a_k{b}_i{)}^2=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)-{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2$

Nazwa równości pochodzi od znakomitego matematyka francuskiego Lagrange’a.

Jeśli zauważyć, że lewa strona tej równości jest zawsze nieujemna, z tożsamości Lagrange’a natychmiast otrzymujemy klasyczną nierówność Schwarza.

Tożsamość Lagrange’a w algebrze zewnętrznej

W terminach iloczynu zewnętrznego, tożsamość Lagrange’a można zapisać jako

$(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b{)}^2=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).$

Można ją więc postrzegać jako wzór wyrażający długość wektora – iloczynu zewnętrznego dwu wektorów (równą polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach) w terminach iloczynu skalarnego tych wektorów:

$\Vert a\wedge b\Vert =\sqrt{(\Vert a\Vert \Vert b\Vert {)}^2-\Vert a\cdot b{\Vert }^2}.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-02-02].