Iloczyn mieszany

Iloczyn mieszany – działanie określone dla trzech wektorów trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jako iloczyn skalarny jednego z nich przez iloczyn wektorowy dwóch pozostałych. Jeśli więc $𝐚,𝐛,𝐜$ są dowolnymi wektorami ${ℝ}^3,$ to ich iloczyn mieszany ma postać:

$(𝐚𝐛𝐜):=𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜).$

Ponieważ zachodzą tożsamości

$𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)=𝐛\cdot (𝐜\times 𝐚)=𝐜\cdot (𝐚\times 𝐛),$

więc każde z powyższych trzech wyrażeń może być użyte w definicji iloczynu mieszanego.

Za pomocą symbolu Leviego-Civity iloczyn mieszany można określić wzorem (w konwencji sumacyjnej Einsteina)

$(𝐚𝐛𝐜)={\epsilon }_{ijk}{a}^i{b}^j{c}^k.$

Interpretacja geometryczna

Trzy wektory określające równoległościan z zaznaczonymi odpowiednimi iloczynami wektorowymi i mieszanymi.

Szablon:Zobacz też W dodatnio zorientowanym układzie współrzędnych iloczyn mieszany opisuje objętość równoległościanu rozpiętego przez dane trzy wektory. Jeśli orientacja przestrzeni nie jest narzucona, to wspomniana objętość również jest zorientowana w tym sensie, iż zależy ona od kolejności wektorów (parzystości ich permutacji). Zmiana orientacji powoduje zmianę znaku iloczynu, w związku z tym iloczyn mieszany nie jest skalarem, a raczej pseudoskalarem (iloczyn wektorowy jest pseudowektorem, a iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem, zaś iloczyn skalarny pseudowektora i wektora jest pseudoskalarem). Wynika stąd także, że zmiana kolejności wektorów w iloczynie wektorowym zmienia znak iloczynu mieszanego (iloczyn skalarny jest przemienny i nie wpływa na znak iloczynu mieszanego),

$(𝐚𝐛𝐜)=𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)=-𝐚\cdot (𝐜\times 𝐛)=-(𝐚𝐜𝐛).$

Iloczyn mieszany można traktować jako jeszcze jedno oznaczenie wyznacznika: iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy ich wyznacznikowi bądź wyznacznikowi macierzy stopnia 3 z wektorami zapisanymi w niej wierszowo bądź kolumnowo (transponowanie macierzy nie zmienia wyznacznika),

$(𝐚𝐛𝐜)=\det (𝐚,𝐛,𝐜)=\det \left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right],$

gdzie $𝐱=(x_1,x_2,x_3);$ wielkość ta jest niezmiennicza ze względu na obroty. Stąd iloczyn mieszany ma wszystkie własności wyznacznika, w tym wieloliniowość i alternacyjność; jest więc unormowaną formą objętości.

Wektory $𝐚,𝐛,𝐜$ są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany jest równy zeru, gdyż „równoległościan” przez nie wyznaczony jest wtedy płaski (zdegenerowany) i nie ma objętości. Ponadto

$|(𝐚𝐛𝐜)|⩽|𝐚||𝐛||𝐜|.$

Zachodzi także następująca własność:

$(𝐚𝐛𝐜)𝐚=(𝐚\times 𝐛)\times (𝐚\times 𝐜).$

Iloczyn zewnętrzny

Trójwektor jako forma objętości, czyli zorientowany element objętości; obiekt do niego dualny jest skalarem o wartości równej jego objętości.

W algebrach zewnętrznej i geometrycznej iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów jest dwuwektorem, czyli zorientowanym elementem płaszczyzny, podczas gdy iloczyn zewnętrzny trzech wektorów to trójwektor, czyli zorientowany element objętości; są to naturalne uogólnienia wektora jako zorientowanego elementu prostej. Dla danych wektorów $𝐚,𝐛,𝐜$ ich iloczyn zewnętrzny

$𝐚\wedge 𝐛\wedge 𝐜$

jest trójwektorem, tzn. pseudoskalarem dualnym do iloczynu mieszanego, o wartości równej iloczynowi mieszanemu (nawiasy pominięto, ponieważ iloczyn zewnętrzny jest łączny, choć nie jest przemienny). Trójwektorowi $𝐚\wedge 𝐛\wedge 𝐜$ odpowiada równoległościan rozpięty przez wektory $𝐚,𝐛,𝐜,$ gdzie dwuwektorom $𝐚\wedge 𝐛,𝐛\wedge 𝐜,𝐚\wedge 𝐜$ odpowiadają równoległoboczne ściany równoległościanu.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, Iloczyny wektorów cz. VI. Iloczyn mieszany wektorów, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].