Element objętości

Elementem objętości rozmaitości M w punkcie $x\in M$ nazywamy taki k-tensor antysymetryczny $dM(x)\in {\mathrm{\Lambda }}^k(T_{x}M),$ że dla każdej bazy $(v_1,\dots ,v_k)$ przestrzeni $T_{x}M$ zachodzi: $dM(x)(v_1,\dots ,v_k)=|R(v_1,\dots ,v_k)|*\mathrm{sgn}(v_1,\dots ,v_k),$ gdzie $|R(v_1,\dots ,v_k)|$ jest objętością równoległościanu rozpiętego na wektorach $(v_1,\dots ,v_k).$

Równoważna definicja

Elementem objętości M w punkcie $x\in M$ nazywamy $dM(x)\in {\mathrm{\Lambda }}^k(T_{x}M)$ o tej własności, że $dM(x)(e_1,\dots ,e_k)=1,$ gdzie $(e_1,\dots ,e_n)$ jest dodatnio zorientowaną bazą ortonormalną przestrzeni stycznej $T_{x}M.$ (Przykładem takiej bazy jest baza standardowa przestrzeni ${ℝ}^n$).

Problem

Definicje te są równoważne, ale w pierwszej nie widać od razu, czy jest to w ogóle tensor, natomiast trzeba wykazać, że druga definicja nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej (jednoznaczność określenia). Definicje te wzajemnie uzupełniają swoje wady.

Zastosowanie

Objętość rozmaitości M określa się jako $\underset{M}{\int }dM,$ o ile ta całka istnieje, co zachodzi z pewnością dla rozmaitości zwartej. „Objętość” zazwyczaj nazywa się długością lub polem powierzchni dla odpowiednio jedno- lub dwuwymiarowej rozmaitości, a dM standardowo oznacza się przez ds (element długości) lub przez dA (element pola powierzchni).

Bibliografia

• Lech Górniewicz, Roman Stanisław Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków II, wyd. drugie, Toruń 2000.
• M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1977.