Baza standardowa

Szablon:Spis treści Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.

Przykładowo bazą standardową płaszczyzny euklidesowej są wektory

𝐞_{x} = (1, 0), 𝐞_{y} = (0, 1),

a bazą standardową trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej są wektory

𝐞_{x} = (1, 0, 0), 𝐞_{y} = (0, 1, 0), 𝐞_{z} = (0, 0, 1) .

Powyższe wektory $𝐞_{x}, 𝐞_{y}, 𝐞_{z}$ wskazują odpowiednio kierunki osi $x, y, z .$ Istnieje kilka popularnych notacji tych wektorów, a wśród nich

{𝐞_{x}, 𝐞_{y}, 𝐞_{z}},

{𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐞_{3}},

{𝐢, 𝐣, 𝐤},

{𝐱, 𝐲, 𝐳} .

Czasami wektory te zapisywane są z daszkiem, aby uwypuklić fakt jednostkowości tych wektorów.

Wspomniane wektory stanowią bazę w tym sensie, iż każdy inny wektor może być przedstawiony jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa. Na przykład każdy wektor $𝐯$ przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jako

v_{x} 𝐞_{x} + v_{y} 𝐞_{y} + v_{z} 𝐞_{z},

gdzie skalary $v_{x}, v_{y}, v_{z}$ są składowymi wektora $𝐯 .$

W $n$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje $n$ różnych wektorów bazy standardowej

{𝐞_{i} : i = 1, \dots, n},

gdzie $𝐞_{i}$ oznacza wektor z $1$ na $i$ -tej współrzędnej i $0$ wszędzie indziej.

Własności

Z definicji baza standardowa jest ciągiem ortogonalnych wektorów jednostkowych. Innymi słowy jest to baza uporządkowana i ortonormalna.

Jednakże uporządkowana baza ortonormalna nie musi być bazą standardową, np. wektory

𝐞_{1} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

𝐞_{2} = (\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})

są jednostkowe i ortogonalne, ale baza ortonormalna, którą tworzą, nie spełnia definicji bazy standardowej.

Uogólnienia

Istnieje również baza standardowa pierścieni wielomianów $n$ zmiennych nad ciałem, mianowicie baza jednomianów.

Wszystkie poprzednie bazy były przypadkami szczególnymi rodziny

(e_{i})_{i \in I} = ((δ_{i j})_{j \in I})_{i \in I},

gdzie $I$ jest dowolnym zbiorem, a $δ_{i j}$ to symbol Kroneckera, równy zeru, jeżeli $i \neq j$ i równy jedności, jeśli $i = j .$ Rodzina ta jest bazą kanoniczną $R$ -modułu (modułu wolnego) $R^{(I)}$ wszystkich rodzin $f = (f_{i})$ z $I$ w pierścień $R,$ które są zerami z wyjątkiem skończonej liczby współczynników, jeżeli przyjmie się, że $1$ to $1_{R},$ czyli jedność w $R .$

Inne

Istnienie innych baz standardowych stało się obiektem zainteresowań geometrii algebraicznej, poczynając od pracy Hodge’a z 1943 dotyczącej grassmannianów. Dziś jest to część teorii reprezentacji nazywanej teorią jednomianów standardowych. Ideę bazy standardowej w uniwersalnej algebrze obwiedniej (ang. universal enveloping algebra) algebry Liego uzyskuje się na mocy twierdzenia Poincarégo-Birkhoffa-Witta.

Bazą standardową nazywa się też czasami bazę Gröbnera.

Zobacz też

uogólniona przestrzeń współrzędnych

Bibliografia

Szablon:Algebra liniowa