Ortonormalność

Ortonormalność – ortogonalność wraz z dodanym warunkiem unormowania, tzn. wymagania, aby elementy ortogonalne miały długość jednostkową (były wersorami). Jest to podstawowa własność wektorów bazy ortonormalnej danej przestrzeni unitarnej.

Definicja

Wektory $x,y$ przestrzeni unitarnej $X$ z iloczynem skalarnym $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ są ortonormalne, jeżeli

$⟨x,y⟩=\{\begin{array}{cc}0,& x\ne y\\ 1,& x=y\end{array}.$

Zbiór wektorów parami ortonormalnych $\{v_i{\}}_{i=1}^n$ nazywa się układem ortonormalnym, wtedy też

$⟨v_i,v_j⟩={\delta }_{ij},$

gdzie ostatni symbol nazywa się czasami deltą Kroneckera.

Ortonormalizacja

Jeżeli dany jest układ wektorów ortogonalnych $\{v_i{\}}_{i=1}^n,$ to można go przekształcić do układu ortonormalnego $\{w_i{\}}_{i=1}^n$ za pomocą transformacji

$w_i=\frac{v_i}{\sqrt{⟨v_i,v_i⟩}}=\frac{v_i}{\Vert v_i\Vert }.$

Powyższa operacja nazywana bywa również unormowaniem ortogonalnego układu wektorów.

Funkcje ortonormalne

Podobnie jak dla funkcji ortogonalnych rozpatruje się również abstrakcyjne przestrzenie unitarne wielomianów, czy dowolnych funkcji, gdzie mówi się o wielomianach ortonormalnych i funkcjach ortonormalnych.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-06-01].