Przekształcenie wieloliniowe

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Spis treści Przekształcenie wieloliniowe – funkcja określona na iloczynie kartezjańskim^{[uwaga 1]} przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową (nad ustalonym ciałem), która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny, to tego rodzaju funkcje te nazywa się formami wieloliniowymi. Jeśli liczba czynników w dziedzinie jest ustalona, równa $n,$ to mówi się wtedy odpowiednio o przekształceniach i formach $n$ -liniowych; struktura tych przekształceń jest dobrze znana z uwagi na ich izomorficzność z przekształceniami liniowymi uzyskaną za pomocą konstrukcji iloczynu tensorowego (zob. Uogólnienia).

Pojęcie to uogólnia się bezpośrednio na moduły (nad ustalonym pierścieniem przemiennym) i to właśnie w ich kontekście zostanie ono opisane w tym artykule.

Potęga kartezjańska

Szablon:Zobacz też Niech dane będą: (niekoniecznie wieloliniowe) przekształcenie $f : M^{n} \to N,$ gdzie $M, N$ są dowolnymi modułami nad pierścieniem przemiennym $R,$ gdzie $n ⩾ 1,$ oraz permutacja $σ$ należąca do grupy symetrycznej $S_{n} .$ Zamiana argumentów funkcji $f$ miejscami zgodnie z porządkiem wyznaczonym przez $σ$ daje inną funkcję $M^{n} \to N$ daną wzorem $(𝗆_{1}, \dots, 𝗆_{n}) \mapsto f (𝗆_{σ (1)}, \dots, 𝗆_{σ (n)})$ ^{[uwaga 2]}. Funkcję $f$ nazywa się odpowiednio

symetryczną, gdy nie zmienia znaku przy dowolnej permutacji,
$f (𝗆_{σ (1)}, \dots, 𝗆_{σ (n)}) = f (𝗆_{1}, \dots, 𝗆_{n}) dla dowolnej σ \in S_{n};$
antysymetryczną, gdy zachowuje znak przy permutacji parzystej i zmienia go na przeciwny przy nieparzystej,
$f (𝗆_{σ (1)}, \dots, 𝗆_{σ (n)}) = (sgn σ) f (𝗆_{1}, \dots, 𝗆_{n}) dla dowolnej σ \in S_{n};$
alternującą, gdy znika przy równych choć dwóch argumentach,
$f (𝗆_{1}, \dots, 𝗆_{n}) = 𝟢, o ile 𝗆_{i} = 𝗆_{j} dla i \neq j oraz n ⩾ 2 .$

W powyższych definicjach zmienne indeksowane są kolejno liczbami $1, 2, \dots, n,$ jednakże własności te nie zależą od użytego porządku liczb naturalnych^{[uwaga 3]}. Jeżeli $n ⩾ 2,$ to przekształcenie wieloliniowe $f : M^{n} \to N,$ które jest alternujące, jest również antysymetryczne^{[uwaga 4]}; w ogólności dla $n ⩾ 2$ dowolna funkcja $f : M^{n} \to N$ jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

f (𝗆_{1}, \dots, 𝗆_{i - 1}, 𝗆_{i}, 𝗆_{i + 1}, 𝗆_{i + 2}, \dots, 𝗆_{n}) = - f (𝗆_{1}, \dots, 𝗆_{i - 1}, 𝗆_{i + 1}, 𝗆_{i}, 𝗆_{i + 2}, \dots, 𝗆_{n})

oraz alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy

f (𝗆_{1}, \dots, 𝗆_{i}, 𝗆_{i + 1}, \dots, 𝗆_{n}) = 𝟢, o ile 𝗆_{i} = 𝗆_{i + 1}

dla $i = 1, \dots, n - 1$ ^{[uwaga 5]}. Istnieją przekształcenia wieloliniowe, które są antysymetryczne, ale nie alternujące (zob. Przykłady); jednakże jeśli $2$ jest jednością pierścienia, to zachodzi odwrócenie poprzedniego twierdzenia^{[uwaga 6]} – oznacza to, że w przypadu pierścieni takich jak ciało liczb rzeczywistych, czy zespolonych terminy „antysymetryczność” i „alternacyjność” można stosować wymiennie.

Zbiór wszystkich funkcji $M^{n} \to N$ tworzy moduł nad pierścieniem $R,$ a przekształcenia wieloliniowe $M^{n} \to N$ tworzą podmoduł wspomnianego modułu^{[uwaga 7]}; ponadto zbiór przekształceń wieloliniowych ustalonego rodzaju (tzn. symetrycznych, antysymetrycznych, czy alternujących) jest podmodułem tego podmodułu^{[uwaga 8]} (zob. przestrzeń funkcyjna).

Przykłady

Funkcja ${M a t}_{n} (R) \times {M a t}_{n} (R) \to R$ dana wzorem $(𝐀, 𝐁) \mapsto t r (𝐀 𝐁)$ jest symetryczna. Funkcja $R^{2} \times R^{2} \to R$ przekształcająca $((\binom{a}{c}), (\binom{b}{d})) \mapsto a d - b c$ (por. wyznacznik^{[uwaga 9]}) jest antysymetryczna i alternująca; podobnie jak iloczyn wektorowy $ℝ^{3} \times ℝ^{3} \to ℝ,$ czy jego zespolony odpowiednik $ℂ \times ℂ \to ℝ$ odwzorowujący $(z, w) \mapsto i m (z \overline{w}) .$ Jeżeli $R$ zawiera $ℤ / 2 ℤ,$ czyli $1 = - 1$ w $R,$ to mnożenie $R \times R \to R$ jest symetryczne, antysymetryczne, lecz nie jest alternujące.

Uogólnienia

Jeśli przekształcenie $f : M^{n} \to N$ jest wieloliniowe, a $g : N \to P$ jest liniowe, to ich złożenie $g \circ f$ również jest wieloliniowe, a ponadto jeżeli $f$ było symetryczne, antysymetryczne lub alternujące, to $g \circ f$ ma tę samą własność. W ten sposób można tworzyć nowe przekształcenia wieloliniowe (symetryczne, antysymetryczne, czy alternujące), składając istniejące z przekształceniami liniowymi; $n$ -te przekształcenie tensorowe $\otimes : M^{n} \to M^{\otimes n}$ odwzorowujące $(𝗆_{1}, \dots, 𝗆_{n})$ w $𝗆_{1} \otimes \dots \otimes 𝗆_{n},$ jest szczególnym przypadkiem przekształcenia wieloliniowego na $M^{n},$ a każde inne pochodzi od niego (zob. iloczyn tensorowy modułów). W ogólności konstrukcja ta może być wykonana dla dowolnych $R$ -modułów – istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między przekształceniami wieloliniowymi $f : M_{1} \times \dots \times M_{n} \to N$ oraz przekształceniami liniowymi $F : M_{1} \otimes \dots \otimes M_{n} \to N$ dana wzorem

f (𝗆_{1}, \dots, 𝗆_{n}) = F (𝗆_{1} \otimes \dots \otimes 𝗆_{n}) .

Ograniczenie się do tych samych modułów w dziedzinie umożliwia rozpatrywanie alternujących przekształceń wieloliniowych (permutowanie argumentów ma sens tylko wtedy, gdy pochodzą one z tego samego modułu), dlatego konstrukcja algebry zewnętrznej możliwa jest tylko na potędze kartezjańskiej.

Jeśli $X_{1}, \dots, X_{n}, Y$ są przestrzeniami unormowanymi nad ustalonym ciałem, to można mówić wtedy o ograniczoności przekształcenia wieloliniowego $f : X_{1} \times \dots \times X_{n} \to Y,$ która pociąga jego ciągłość (zob. ograniczone przekształcenie liniowe); wspomniane przekształcenie jest ograniczone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała rzeczywista $C > 0,$ że dla każdego wektora $(𝐱_{1}, \dots, 𝐱_{n}) \in X_{1} \times \dots \times X_{n}$ zachodzi

‖ f (𝐱_{1}, \dots, 𝐱_{n}) ‖ ⩽ C ‖ 𝐱_{1} ‖ \dots ‖ 𝐱_{n} ‖ .

Zobacz też

Uwagi

Szablon:Uwagi

Bibliografia

Szablon:Cytuj książkę

Błąd rozszerzenia cite: Istnieje znacznik <ref> dla grupy o nazwie „uwaga”, ale nie odnaleziono odpowiedniego znacznika <references group="uwaga"/>

[uwaga 1]

[uwaga 2]

[uwaga 3]

[uwaga 4]

[uwaga 5]

[uwaga 6]

[uwaga 7]

[uwaga 8]

[uwaga 9]