Algebra zewnętrzna

Szablon:Grafika rozwinięta

Iloczyn zewnętrzny – konstrukcja algebraiczna używana w geometrii do badania powierzchni, objętości i ich analogów w wyższych wymiarach. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów $𝐮$ oraz $𝐯,$ oznacza się symbolem $𝐮 \land 𝐯$ i nazywa się biwektorem; biwektor leży w przestrzeni zwanej zewnętrznym kwadratem, która jest przestrzenią inną niż oryginalna przestrzeń wektorowa. Wartość iloczynu jest równa powierzchni równoległoboku o bokach $u$ oraz $v .$ W trzech wymiarach można ją obliczyć jako wartość iloczynu wektorowego wektorów $𝐮$ oraz $𝐯 .$

Podobnie jak iloczyn wektorowy, iloczyn zewnętrzny jest antyprzemienny, tj. $𝐮 \land 𝐯 = - (𝐯 \land 𝐮) .$ W odróżnieniu jednak od iloczynu wektorowego iloczyn zewnętrzny jest łączny, tj. $(𝐮 \land 𝐯) \land 𝐰 = 𝐮 \land (𝐯 \land 𝐰) .$

Biwektor można wyobrazić sobie jako rodzinę równoległoboków leżących w tej samej płaszczyźnie, mających tę samą powierzchnię i tę samą orientację – zgodną lub przeciwną do ruchu wskazówek zegara.

Z definicji wynika, że np.

𝐮 \land 𝐯 = 0,

jeżeli wektory $u, v$ są równoległe.

Przykład

Pole elementu na płaszczyźnie

(1) Płaszczyzna $𝐑^{2}$ jest przestrzenią wektorową 2-wymiarową, której bazę stanowi para wektorów

𝐞_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}], 𝐞_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] .

Niech dane będą dwa wektory $𝐑^{2}$

𝐯 = [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}] = a 𝐞_{1} + b 𝐞_{2}, 𝐰 = [\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}] = c 𝐞_{1} + d 𝐞_{2},

które wyznaczają równoległobok, mający $𝐯$ oraz $𝐰$ jako boki. Powierzchnia tego równoległoboku dana jest wyrażeniem

Area = | \det [\begin{matrix} 𝐯 & 𝐰 \end{matrix}] | = | \det [\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}] | = | a d - b c | .

(2) Obliczmy teraz iloczyn zewnętrzny wektorów $𝐯$ oraz $𝐰 :$

\begin{matrix} 𝐯 \land 𝐰 & = (a 𝐞_{1} + b 𝐞_{2}) \land (c 𝐞_{1} + d 𝐞_{2}) \\ = a c 𝐞_{1} \land 𝐞_{1} + a d 𝐞_{1} \land 𝐞_{2} + b c 𝐞_{2} \land 𝐞_{1} + b d 𝐞_{2} \land 𝐞_{2} \\ = (a d - b c) 𝐞_{1} \land 𝐞_{2} \end{matrix}

– w pierwszym kroku wykorzystane zostało prawo rozdzielności iloczynu zewnętrznego, a ostatni etap używa faktu, że $𝐞_{2} \land 𝐞_{1} = - (𝐞_{1} \land 𝐞_{2}) .$ (Wynika stąd np. że $𝐞_{1} \land 𝐞_{1} = 𝐞_{2} \land 𝐞_{2} = 0$ ). Współczynnik w ostatnim wyrażeniu jest równy wyznacznikowi macierzy $[𝐯 𝐰] .$ Fakt, że może być on dodatni lub ujemny oznacza, że zależy on od kolejności mnożonych wektorów $𝐯$ oraz $𝐰,$ która to kolejność może wyznaczać obrót zgodny ze wskazówkami zegara lub przeciwny. Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią zorientowaną: wartość iloczynu jest równa wielkości powierzchni, zaś znak określa orientację.

Jeżeli $A (𝐯, 𝐰)$ jest powierzchnią zorientowaną, rozpiętą przez wektory $𝐯$ oraz $𝐰,$ to $A$ ma następujące właściwości:

$A (j 𝐯, k 𝐰) = j k A (𝐯, k 𝐰)$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $j$ oraz $k,$ ponieważ przeskalowując boki zmieniamy wielkość równoległoboku, jak również orientację – gdy mnożymy wektor przez liczbę ujemną.
$A (𝐯, 𝐯) = 0,$ ponieważ powierzchnia zdegenerowanego równoległoboku jest równa 0.
$A (𝐰, 𝐯) = - A (𝐯, 𝐰),$ ponieważ zmiana kolejności wektorów ma zmieniać znak.
$A (𝐯 + j 𝐰, 𝐰) = A (𝐯, 𝐰)$ dla dowolnych $j,$ ponieważ dodanie wielokrotności wektora $𝐰$ do $𝐯$ nie zmienia ani podstawy, ani wysokości równoległoboku – w efekcie zachowuje powierzchnię.
$A (𝐞_{1}, 𝐞_{2}) = 1,$ ponieważ wielkość jednostkowego kwadratu jest równa 1.

W pewnym sensie iloczyn zewnętrzny uogólnia pojęcie powierzchni, gdyż pozwala porównywać powierzchnie dowolnych elementów w przestrzeni np. z powierzchnią jednostkowego kwadratu. Innymi słowy:

Iloczyn zewnętrzny daje niezależne od układu współrzędnych pojęcie pola powierzchni oraz metodę jej obliczania.

Iloczyn zewnętrzny

Iloczyn zewnętrzny jest działaniem służącym do tworzenia wielowektorów. Działanie to jest

liniowe: $𝐮 \land (α 𝐯 + β 𝐰) = α 𝐮 \land 𝐯 + β 𝐮 \land 𝐰,$
łączne: $(𝐮 \land 𝐯) \land 𝐰 = 𝐮 \land (𝐯 \land 𝐰) = 𝐮 \land 𝐯 \land 𝐰,$
alternujące: $𝐮 \land 𝐯 = - 𝐯 \land 𝐮, 𝐮 \land 𝐮 = 0,$

gdzie $𝐮,$ $𝐯$ oraz $𝐰$ są wektorami w $V,$ zaś $α, β$ to skalary.

Iloczyn $p$ wektorów jest nazywany wielowektorem stopnia p lub p-wektorem. Maksymalny stopień wielowektorów jest równy wymiarowi przestrzeni wektorowej $V .$

Liniowość iloczynu zewnętrznego pozwala definiować wielowektory jako kombinacje liniowe wielowektorów bazowych. Jest $(\binom{n}{p})$ p-wektorów $w$ $n$ -wymiarowej przestrzeni wektorowej^[1]

Wielowektor

Wielowektor (zwany liczbą Clifforda) jest podstawowym elementem algebry zewnętrznej. Jeżeli $V$ jest przestrzenią n-wymiarową, to k-wektorem nazywa się obiekt o postaci

v_{1} \land \dots \land v_{k},

gdzie $v_{1}, \dots, v_{k}$ są wektorami w przestrzeni $V .$

Zobacz też

forma różniczkowa

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.
Roger Penrose, Droga do rzeczywistości, Prószyński i S-ka, Warszawa 2010.

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp Exterior algebra Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

Szablon:Kontrola autorytatywna

↑ H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic Press, New York, NY, 1963.

[Flanders-1] H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic Press, New York, NY, 1963.

[1]

Algebra zewnętrzna

Spis treści

Przykład

Pole elementu na płaszczyźnie

Iloczyn zewnętrzny

Wielowektor

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Algebra zewnętrzna

Przykład

Pole elementu na płaszczyźnie

Iloczyn zewnętrzny

Wielowektor

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj