Macierz antysymetryczna

Macierz antysymetryczna (skośnie symetryczna) – macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa $A=[a_{ij}]$ jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek

$a_{ji}=-a_{ij},$

to znaczy

$A^{\mathrm{T}}=-A.$

Z definicji wynika, że dla dowolnego $i$ zachodzi: $a_{ii}=0,$ o ile charakterystyka ciała elementów macierzy jest różna od 2.

Dla ciał charakterystyki 2 elementy głównej przekątnej mogą być niezerowe, te z zerowymi przekątnymi nazywane są wówczas macierzami alternującymi.

Uogólnieniem macierzy antysymetrycznej jest macierz antyhermitowska.

Własności

• Kombinacja liniowa macierzy antysymetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy antysymetrycznej są macierzami antysymetrycznymi; iloczyn macierzy antysymetrycznych na ogół nie jest antysymetryczny.
• Dla macierzy kwadratowej $A$ macierz $A-A^{\mathrm{T}}$ jest antysymetryczna; więcej, przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia $n$ rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli $A$ jest dowolną macierzą kwadratową stopnia $n,$ to

  $A=\frac{1}{2}(A+A^{\mathrm{T}})+\frac{1}{2}(A-A^{\mathrm{T}}),$

przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.

• Wszystkie wartości własne antysymetrycznej macierzy rzeczywistej są urojone.
• Jeśli $A$ jest macierzą antysymetryczną stopnia $n,$ to jej wyznacznik jest równy

  $\det A=\det A^{\mathrm{T}}=\det (-A)=(-1{)}^n\det A.$

W szczególności, jeżeli $n$ jest nieparzyste, to $\det A=0$ (dla macierzy o wyrazach z ciała charakterystyki różnej od 2) – wynik ten znany jest jako twierdzenie Jacobiego (nazywany nazwiskiem Carla Jacobiego). Jeśli $n$ jest parzyste, to det $A$ można zapisać w postaci $(\mathrm{P}\mathrm{f}A{)}^2,$ gdzie $\mathrm{P}\mathrm{f}A$ oznacza pfaffian macierzy $A$ – wynik znany jako twierdzenie Cayleya (o pfaffianie; udowodniony przez Arthura Cayleya i odkryty na nowo przez Thomasa Muira).

Przykłady

Macierzami antysymetrycznymi są:

$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 7& -2\\ -7& 0& -1\\ 2& 1& 0\end{array}\right].$

Pierwsza z tych macierzy jest jednocześnie antysymetryczna i symetryczna.

W ciele $F_2$ macierz

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

jest macierzą antysymetryczną, ale nie jest macierzą alternującą.

Zobacz też

• forma dwuliniowa
• macierz antyhermitowska
• macierz hermitowska
• macierz symetryczna