Macierz hermitowska

Macierz hermitowska (albo samosprzężona) – macierz kwadratowa $A=[a_{ij}]$ równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu$A^{†}=[\overline{a_{ji}}],$ tj. macierz spełniająca warunek:

$A=A^{†}$

czyli

$[a_{ij}]=[\overline{a_{ji}}]$

Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem macierzy hermitowskiej jest operator samosprzężony (hermitowski).

Szczególnym przypadkiem macierzy hermitowskich są rzeczywiste macierze symetryczne.

Przykłady

Macierze hermitowskie 2 × 2

• macierze symetryczne rzeczywiste, tj. $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right],a,b,c\in ℝ,$ np. $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 7\end{array}\right]$

• macierze zespolone, np. $\left[\begin{array}{cc}1& -i\\ i& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}2& -i\\ i& 1\end{array}\right]$

• macierze Pauliego

${\sigma }_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],{\sigma }_2=\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right],{\sigma }_3=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

• macierz zbudowana z macierzy Pauliego

$H(x,y,z)=x{\sigma }_1+y{\sigma }_2+z{\sigma }_3=\left[\begin{array}{cc}z& x-iy\\ x+iy& -z\end{array}\right]$

Macierze hermitowskie 3 × 3

• macierze symetryczne rzeczywiste, tj.

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& d& e\\ c& e& f\end{array}\right],a,b,c,d,e,f\in ℝ,$ np. $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 2& 7& 0\\ 4& 0& -3\end{array}\right]$

• $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1-2i& i\\ 1+2i& -2& 3+2i\\ -i& 3-2i& 5\end{array}\right].$

Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:

$A^{†}={\left({\left[\begin{array}{ccc}2& 1-2i& i\\ 1+2i& -2& 3+2i\\ -i& 3-2i& 5\end{array}\right]}^T\right)}^{*}=\left[\begin{array}{ccc}2& 1-2i& i\\ 1+2i& -2& 3+2i\\ -i& 3-2i& 5\end{array}\right]=A$

Macierze hermitowskie 4 × 4

• macierz gamma Diraca ${\gamma }^0$

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

• macierze alpha i beta Diraca

Ogólna postać macierzy hermitowskiej. Algebry Liego

Macierze hermitowskie wymiaru $n\times n$ mają na przekątnej liczby rzeczywiste $p_1,p_2,\dots ,p_n\in ℝ,$ a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.

Macierze hermitowskie wymiaru $n\times n$ mają ogólną postać

$\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& a& b& \dots \\ \bar{a}& p_2& c& \dots \\ \bar{b}& \bar{c}& p_3& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right],p_1,p_2,p_3,\dots \in ℝ,a,b,c,\dots \in ℂ,$

gdzie $\bar{a},\bar{b},\bar{c},\dots$ – sprzężenia zespolone liczb $a,b,c,\dots$

Macierze te zależą w ogólności od $n^2$ parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową $n^2$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru $n\times n$ zależą od $n^2-1$ parametrów (warunek $Tr(A)=0$ daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego $su(n).$ Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.

Macierze hermitowskie 2 × 2

– mają ogólną postać

$\left[\begin{array}{cc}{p}_1& a\\ \bar{a}& p_2\end{array}\right],p_1,p_2\in ℝ,$

gdzie:

• $a=x_a+i{y}_a,$
• $\bar{a}=x_a-i{y}_a$ – sprzężenie zespolone liczby $a.$

Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów $x_a,y_a,p_1,p_2$ i tworzą przestrzeń wektorową 4- wymiarową.

Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń $2^2-1=3$ – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego.

Macierze hermitowskie 3 × 3

– mają ogólną postać

$\left[\begin{array}{ccc}{p}_1& a& b\\ \bar{a}& p_2& c\\ \bar{b}& \bar{c}& p_3\end{array}\right],p_1,p_2,p_3\in ℝ,a,b,c\in ℂ.$

Macierze te zależą w ogólności od $3^2=9$ parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb $a,b,c$) i tworzą przestrzeń wektorową $9$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru $3\times 3$ zależą od $3^2-1=8$ parametrów i tworzą podprzestrzeń $8$ -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.

Własności

• Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste.
• Macierz hermitowska ma rzeczywiste wartości własne.

Dowód: Niech $\lambda$ będzie wartością własną macierzy $A,$ tj. $Ax=\lambda x$ dla pewnego niezerowego wektora $x.$ Wówczas

$\lambda ⟨x,x⟩=⟨\lambda x,x⟩=⟨Ax,x⟩=⟨x,Ax⟩=⟨x,\lambda x⟩=\bar{\lambda }⟨x,x⟩,$

co dowodzi, że $\lambda$ jest liczbą rzeczywistą, ponieważ $\lambda =\bar{\lambda }.$

• Wektory własne niezdegenerowanej macierzy hermitowskiej są ortogonalne.

Dowód: Niech ${\lambda }_1$ i ${\lambda }_2$ będą różnymi wartościami własnymi macierzy $A$ dla pewnych wektorów, kolejno $x_1$ i $x_2,$ tj. $A{x}_1={\lambda }_1{x}_1$ oraz $A{x}_2={\lambda }_2{x}_2.$ Wówczas:

${\lambda }_2⟨x_1,x_2⟩=⟨x_1,{\lambda }_2{x}_2⟩=⟨x_1,A{x}_2⟩=⟨A^{†}{x}_1,x_2⟩=⟨{\lambda }_1^{*}{x}_1,x_2⟩={\lambda }_1^{*}⟨x_1,x_2⟩,$

ponieważ wartości własne są rzeczywiste, a więc ${\lambda }_1^{*}={\lambda }_1.$

Stąd:

${\lambda }_2⟨x_1,x_2⟩={\lambda }_1⟨x_1,x_2⟩\Rightarrow ({\lambda }_2-{\lambda }_1)⟨x_1,x_2⟩=0,$

ponieważ ${\lambda }_2\ne {\lambda }_1$ (macierz niezdegenerowana), $⟨x_1,x_2⟩=0,$ a więc wektory $x_1$ i $x_2$ są ortogonalne.

• Macierz hermitowska $n\times n$ posiada $n$ liniowo niezależnych wektorów własnych.

Dowód: Niech $A$ będzie macierzą hermitowską, a $\lambda$ jej wartością własną. Pokażemy, że $A$ nie posiada wektorów głównych drugiego rzędu. Załóżmy dla dowodu nie wprost, że $v$ jest wektorem głównym drugiego rzędu. Wtedy: $(A-\lambda I{)}^{2}v=0,$ zatem $⟨v,(A-\lambda I{)}^{2}v⟩=0.$ Skoro $A$ jest hermitowska, a $\lambda$ – rzeczywista, z powyższego wynika, że $⟨(A-\lambda I)v,(A-\lambda I)v⟩=0$ lub równoważnie $\Vert (A-\lambda I)v{\Vert }^2=0.$ Ostatecznie $(A-\lambda I)v=0,$ czyli $v$ jest wektorem własnym, co przeczy założeniu, że $v$ jest wektorem głównym drugiego rzędu. W bazie Jordana macierzy $A$ występują zatem wyłącznie jej wektory własne.

• Macierz hermitowska jest unitarnie podobna do macierzy diagonalnej rzeczywistej, tj. dla hermitowskiej macierzy $A$ istnieją rzeczywista diagonalna macierz $D$ oraz unitarna macierz $U,$ takie że $A=UD{U}^{†}.$
• Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.
• Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną.

Formy hermitowskie

Formę $g$ na zespolonej przestrzeni liniowej $V$ nazywa się hermitowską jeżeli

1. $g(a_1{\xi }_1+a_2{\xi }_2,\vartheta )=a_{1}g({\xi }_1,\vartheta )+a_{2}g({\xi }_2,\vartheta )(a_1,a_2\in ℂ,{\xi }_1,{\xi }_2,\vartheta \in V)$
2. $g(\xi ,\vartheta )=\overline{g(\vartheta ,\xi )}(\xi ,\vartheta \in V).$

Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli $A$ jest $n$-wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

$g(\xi ,\vartheta )=\xi A{\vartheta }^T(\xi ,\vartheta \in {ℂ}^n)$

definiuje formę hermitowską w przestrzeni ${ℂ}^n$ (symbol ${\vartheta }^T$ oznacza postać kolumnową wektora poziomego $\vartheta$).

Zobacz też

• macierz antyhermitowska
• macierz unitarna
• operator hermitowski
• sprzężenie hermitowskie macierzy

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Tadeusz Trajdos, Matematyka c III. Warszawa: PWN, 1993. Szablon:ISBN.