Operator samosprzężony

Operator samosprzężony (hermitowski) – odwzorowanie liniowe $A$ działające na skończenie wymiarowej, zespolonej przestrzeni wektorowej $V,$ takie że

$⟨Av|w⟩=⟨v|Aw⟩,$

gdzie:

$⟨\cdot |\cdot ⟩$ – iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni $V$

$|Aw⟩\equiv A|w⟩$ – wektor powstały w wyniku działania operatora $A$ na wektor $|w⟩$

$⟨Av|\equiv (A|v⟩{)}^{†}$ – sprzężenie hermitowskie wektora $A|v⟩$

Operatory samosprzężone używane są w analizie funkcjonalnej.

W mechanice kwantowej operatory samosprzężone reprezentują wielkości mierzone – nazywa się je obserwablami. Przydatność operatorów hermitowskich wynika stąd, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi i z tej racji mogą określać wyniki pomiarów fizycznych.

Operator samosprzężony skończenie wymiarowy można reprezentować za pomocą macierzy hermitowskiej (samosprzężonej).

Macierz operatora hermitowskiego

Jeżeli $V$ jest przestrzenią skończenie wymiarową i ma bazę ortogonalną, to macierz operatora $A$ jest macierzą hermitowską (tj. równą swojemu sprzężeniu hermitowskiemu).

Dowód: Niech $A$ oznacza teraz macierz. Obliczanie sprzężenia hermitowskiego wektora $A|v⟩$ oznacza obliczanie tego sprzężenia dla iloczynu macierzy i wektora. Ponieważ sprzężenie hermitowskie iloczynu jest iloczynem sprzężeń wziętych w odwrotnej kolejności

$(A|v⟩{)}^{†}=⟨v|A^{†}$

to wstawiając do definicji operatora hermitowskiego wielkości $|Aw⟩=A|w⟩$ oraz $⟨Av|=⟨v|A^{†}$ otrzyma się

$⟨v|A^{†}|w⟩=⟨v|A|w⟩$

co implikuje

$A^{†}=A$

czyli macierz operatora musi być samosprzężona (hermitowska)

Z twierdzenia spektralnego dla przestrzeni skończenie wymiarowych wynika, że istnieje w przestrzeni $V$ bazę ortonormalną, taka że macierz operatora $A$ wyrażonego w tej bazie jest macierzą diagonalną, przy czym jej elementy są liczbami rzeczywistymi.

Rozważa się uogólnienie powyższej idei na operatory działające w przestrzeni Hilberta dowolnego wymiaru.

Operatory samosprzężone w mechanice kwantowej

Operatory samosprzężone występują w sformułowaniu mechaniki kwantowej podanym przez Diraca–von Neumanna: wielkości fizyczne, takie jak energia, położenie, pęd, moment pędu czy spin są wartościami własnymi operatorów, przypisanym tym wielkościom. To, w jakich stanach energii, pędu itp. można znaleźć dany układ kwantowy w wyniku wykonania pomiaru, oblicza się działając odpowiednim operatorem na wektor stanu $|\psi ⟩$ układu (wektor ten należy do przestrzeni Hilberta skonstruowanej dla tego układu).

1. Szczególne znaczenie ma operator energii (operator Hamiltona) $\hat{H}.$ Np. dla pojedynczej cząstki ma on postać

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U$

Wartości własne tego operatora przedstawiają energie całkowite (tj. sumy energii kinetycznej i potencjalnej), jakie może posiadać cząstka o masie $m$ oddziałująca z polem potencjalnym $U.$ Przykładem jest np. elektron w atomie wodoru. Rozwiązanie zagadnienia własnego prowadzi do wyznaczenia poziomów energetycznych elektronu w atomie.

2. Macierze Pauliego występują w zapisie operatorów pomiaru spinu cząstek układu kwantowego, np.

$A\equiv {\sigma }_2=\left[\begin{array}{ccc}0& & -i\\ i& & 0\end{array}\right]$

– macierze te są samosprzężone.

Operatory przestrzeni nieskończenie wymiarowej

Operatory samosprzężone zdefiniowane na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta mają strukturę podobną do operatorów przestrzeni skończenie wymiarowych. Tzn. operatorem samosprzężonym jest taki i tylko taki operator, że jest on unitarnie równoważny operatorowi mnożenia o wartościach rzeczywistych. Pojęcie to może być z małymi modyfikacjami rozszerzone na przestrzenie nieskończenie wielowymiarowe.

Zobacz też

• operator (fizyka)
• operator sprzężony

Bibliografia

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, Szablon:ISBN.
• Wprowadzenie do operatorów linowych https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Wprowadzenie_do_teorii_operatorów_liniowych