Energia kinetyczna

Wagony kolejki górskiej mają największą wartość energii kinetycznej u dołu trasy. Podczas wznoszenia się, energia ta zamienia się w energię potencjalną grawitacji. Przy pominięciu oporów ruchu suma tych dwóch energii pozostaje stała.

Energia kinetyczna $(E_k)$ z gr. kinēma ‘ruch’ – energia ciała związana z ruchem (po gr. κίνησις ‘ruch’) jego masy. Jednostką $E_k$ jest dżul. W opisywalnych przez mechanikę klasyczną układach może dochodzić do przemian $E_k$ w energię potencjalną $(E_p)$ i odwrotnie (przykładem takiego układu jest wahadło).

Sumę $E_k+E_p$ nazywamy energią mechaniczną. Jak wynika z zasady zachowania energii, $E_k+E_p$ jest stała w układzie idealnym. W szerszym ujęciu termodynamicznym, w przypadku gdy analizując zachowanie układu mechanicznego nie można zignorować strat $E_k$ zachodzących np. w wyniku tarcia (z wydzieleniem ciepła, np. w przypadku tłoka), mówimy o rozproszeniu energii mechanicznej.

Mechanika klasyczna

Dla ciała o masie $m$ i prędkości $v$ dużo mniejszej od prędkości światła w próżni ($v\ll c,$ gdzie $c$ jest prędkością światła w próżni), energia kinetyczna wynosi:

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2.$

Wzór ten można wyprowadzić ze wzorów na pracę i siłę:

$W=F\cdot s$

$F=m\cdot a$

$F=m\cdot \frac{v_k-v_p}{t}$

$W=m\cdot \frac{v_k-v_p}{t}\cdot s$

$W=m\cdot \frac{v_k-v_p}{t}\cdot \frac{v_p+v_k}{2}\cdot t$

Gdy prędkość początkowa $v_p=0,$ wtedy:

$W=m\cdot \frac{v_k}{t}\cdot \frac{v_k}{2}\cdot t$

$W=m\cdot \frac{v_k^2}{2}=\frac{1}{2}m{v}_k^2,$

gdzie:

$W$ – praca,

$F$ – siła,

$a$ – przyspieszenie,

$s$ – droga,

$t$ – czas,

$m$ – masa,

$v_p,$ $v_k$ – prędkość początkowa i końcowa.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

$E_k=\frac{1}{2}\mathbb{\omega }\hat{I}\mathbb{\omega }=\frac{1}{2}\sum _{ij}{\omega }_i{I}_{ij}{\omega }_j,$

gdzie:

$\mathbb{\omega }$ – prędkość kątowa,

$\hat{I}=(I_{ij})$ – tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

$E_k=\frac{1}{2}I{\omega }^2,$

gdzie:

$I$ – odpowiedni moment bezwładności,

$\mathbb{\omega }$ – prędkość kątowa.

Mechanika relatywistyczna

Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła w próżni (tzw. relatywistycznych) do obliczenia energii kinetycznej stosuje się ogólniejszy wzór, w którym energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową

$E_k=m\gamma c^2-m{c}^2,$

gdzie:

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$

lub

$E_k=m{c}^2(\gamma -1)$

lub

$E_k=m{c}^2(\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}-1).$

Ułamek z powyższego wzoru ma rozwinięcie w szereg Maclaurina względem zmiennej $\frac{v}{c}$

$\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}=1+\frac{1}{2}{v}^2/c^2+\frac{3}{8}{v}^4/c^4+\dots$

Zatem:

$E_k=m{c}^2(\frac{1}{2}{v}^2/c^2+\frac{3}{8}{v}^4/c^4+\dots )=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{3}{8}m{v}^4/c^2+\dots$

Dla prędkości $v$ małych w porównaniu z prędkością światła w próżni $(v\ll c)$ można pominąć drugi i dalsze składniki, co sprowadza wzór na energię kinetyczną do postaci znanej z mechaniki klasycznej (nierelatywistycznej):

$E_k\approx \frac{1}{2}m{v}^2.$

Mechanika kwantowa

Szablon:Zobacz też W mechanice kwantowej wprowadza się pojęcie operatora energii kinetycznej $\hat{T}.$ W ramach nierelatywistycznej mechaniki kwantowej, operator energii kinetycznej dla cząstki o masie $m$ ma postać:

$\hat{T}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}.$

gdzie $\hat{p}$ jest operatorem pędu.

W obrazie drugiej kwantyzacji operator energii kinetycznej dla układu cząstek o relacji dyspersji ${ϵ}_{k\nu }$ ma postać

$\hat{T}=\sum _{𝐤\nu }{ϵ}_{𝐤\nu }{a}_{𝐤\nu }^{†}{a}_{𝐤\nu },$

gdzie symbol $\nu$ może oznaczać dowolny zbiór zmiennych (np. $\nu =\{\sigma \}$ dla spinu, lub $\nu =\{\sigma ,n\}$ dla spinu i pasma $n$).