Prędkość kątowa

Prędkość kątowa

Prędkość kątowa jest wielkością wektorową $\omega ,$ której kierunek pokrywa się z osią obrotu, a zwrot jest zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

Prędkość kątowa – wielkość wektorowa opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu) ciała. Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu ciała i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt $\theta$ to wartość prędkości kątowej $\omega$ jest równaSzablon:Odn:

$\omega =\frac{d\theta }{dt}.$

Jednostką prędkości kątowej w układzie SI jest radian na sekundęSzablon:Odn:

$\omega =\left[\frac{rad}{s}\right].$

Związek z liniowymi wielkościami kinematycznymi

Jeżeli ciało porusza się po okręgu, to obróciwszy się o kąt $\theta ,$ zakreśli łuk o długościSzablon:Odn:

$s=\theta r.$

Zależność chwilowej prędkości liniowej $v$ ciała poruszającego się po okręgu o promieniu $r$ od chwilowej prędkości kątowej $\omega$ tego ciała dana jest wzoremSzablon:Odn:

$v=\frac{ds}{dt}=\frac{d\theta r}{dt}=\omega r,$

gdzie $s$ jest długością łuku zakreślanego w czasie $t.$

Różniczkując powyższy związek względem czasu:

$\frac{dv}{dt}=r\frac{d\omega }{dt},$

$a_t=r\epsilon ,$

gdzie $a_t$ to przyspieszenie styczne ciała, a $\epsilon$ to przyspieszenie kątoweSzablon:Odn.

Zmiana kierunku ruchu punktu poruszającego się po okręgu wywołuje przyspieszenie dośrodkowe zwane też radialnymSzablon:Odn:

$a_r=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r.$

Zapis wektorowy

W zapisie wektorowym prędkość kątowa zdefiniowana jest następującoSzablon:Odn:

$\mathit{\omega }=\frac{𝐫\times 𝐯}{|𝐫{|}^2},$

co odpowiada:

$𝐯=\mathit{\omega }\times 𝐫,$

czyli jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego ciała poruszającego się ruchem obrotowym i jego prędkości liniowej (chwilowej). Stąd pochodzą wszystkie jej wyżej wymienione własności.

Przyspieszenie kątowe:

$\mathit{\epsilon }=\frac{d\omega }{dt}.$

Jeżeli nie zmienia się promień ruchu ciała, to przyspieszenie liniowe:

$𝐚={𝐚}_{𝐭}+{𝐚}_{𝐫},$

${𝐚}_{𝐭}=\epsilon \times 𝐫,$

${𝐚}_{𝐫}=\omega \times 𝐯.$

Zobacz też

• prędkość obrotowa
• przyspieszenie kątowe
• pulsacja

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę