Operator pędu

Operator pędu – jeden z operatorów wprowadzanych przez mechanikę kwantową; wartości własne tego operatora określają możliwe wartości pędu cząstki czy układu cząstek. Matematycznie, operator pędu jest operatorem hermitowskim (samosprzężonym) zdefiniowanym na przestrzeni Hilberta.

Reprezentacja pędowa operatora pędu

Operator pędu $\hat{p}$ definiuje się następująco: działając na stan własny $|p⟩$ operator ten daje ten sam stan mnożony przez liczbę $p,$ zwaną wartością własną

$\hat{p}|p⟩=p|p⟩.$

Rozwiązanie powyższego równania w bazie wektorów własnych operatora położenia prowadzi do zależności

$p(x)=⟨x|p⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\exp \left(\frac{\mathrm{i}}{\hslash }px\right).$

Funkcja ta nie jest jednak całkowalna w kwadracie, gdyż

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(x{)}^{*}p(x)\mathrm{d}x=+\mathrm{\infty }.$

Według ścisłych wymogów matematycznych operator pędu nie jest dobrze zdefiniowany. Jednak pomija się wymóg całkowalności w kwadracie i traktuje wielkości $|p⟩$ jako wektory własne operatorów pędu. Przy tych założeniach zbiór wszystkich wektorów $|p⟩$ może być traktowany jak baza ortonormalna, przy czym iloczyn skalarny dowolnych wektorów $|p^{\prime }⟩,|p⟩$ spełnia zależność

$⟨p^{\prime }|p⟩=\delta (p-p^{\prime }),$

gdzie $\delta$ – delta Diraca.

(Ściśle wektory $|p⟩$ nie tworzą bazy przestrzeni Hilberta funkcji ${ℒ}^2(ℝ)$ całkowalnych z kwadratem, gdyż przestrzeń taka jest ośrodkowa, co sprawia, że każda baza ortonormalna musi być przeliczalna, zaś zbiór $\{|p⟩|p\in ℝ\}$ jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ignorowanie tego faktu nie prowadzi zazwyczaj do nieprawdziwych wniosków. Jednak każde obliczenia, w których traktuje się $|p⟩$ jako wektory bazy ortonormalnej, wymagają szczególnej ostrożności).

Dowolny stan $|\psi ⟩$ przestrzeni Hilberta możemy teraz rozłożyć w bazie wektorów własnych następująco

$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{p}^{\prime }|p^{\prime }⟩⟨p^{\prime }|\psi ⟩.$

Wielkość $\psi (p^{\prime })\equiv ⟨p^{\prime }|\psi ⟩$ jest funkcją falową stanu $|\psi ⟩$ w reprezentacji pędowej, odpowiadającą wartości pędu $p^{\prime }.$

Korzystając z bazy $\{|p^{\prime }⟩\}$ wektorów własnych działanie danego operatora $\hat{p}$ na stan $|\psi ⟩$ możemy obliczyć następująco:

$\hat{p}|\psi ⟩\equiv |{\psi }^{\prime }⟩=\hat{p}\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{p}^{\prime }|p^{\prime }⟩⟨p^{\prime }|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{p}^{\prime }\hat{p}|p^{\prime }⟩⟨p^{\prime }|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{p}^{\prime }{p}^{\prime }|p^{\prime }⟩⟨p^{\prime }|\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{p}^{\prime }\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}⟨p^{\prime }|\psi ⟩p^{\prime }|p^{\prime }⟩.$

Stan $|\psi ⟩$ pod wpływem działania operatora $\hat{p}$ przechodzi więc w inny stan $|{\psi }^{\prime }⟩,$ który jest sumą (całką) po stanach $|p^{\prime }⟩$ z amplitudami $\frac{1}{2\pi \hslash }{p}^{\prime }⟨p^{\prime }|\psi ⟩.$ Oznacza to, że np. wykonując pomiar pędu cząstki znajdującej się w stanie $|\psi ⟩$ otrzyma się wartość pędu $p^{\prime }$ z gęstością prawdopodobieństwa

$P(p^{\prime })={|\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}⟨p^{\prime }|\psi ⟩|}^2.$

Reprezentacja położeniowa operatora pędu

1) Powyżej podany wzór $\hat{p}|p⟩=p|p⟩$ oznacza, że działanie składowej ${\hat{p}}_i,i=x,y,z$ operatora pędu zapisanej w reprezentacji pędowej odpowiada po prostu na mnożeniu funkcji falowej przez $p_i.$

2) W reprezentacji położeniowej składowa ${\hat{p}}_i$ operatora pędu ma postać

${\hat{p}}_i=-\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial x_i}.$

3) Wektorowy operator pędu $\widehat{𝒑}$ definiuje się jako wektor utworzony z operatorów ${\hat{p}}_i,$ tj.

$\widehat{𝒑}=[{\hat{p}}_x,{\hat{p}}_y,{\hat{p}}_z].$

Wektor ten w reprezentacji położeniowej ma więc postać:

$\widehat{𝒑}=-\mathrm{i}\hslash \mathrm{\nabla },$

gdzie:

$\mathrm{\nabla }=[\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}]$

jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu

Ważną cechą kwantowego operatora pędu jest to, że nie komutuje on z operatorem położenia. Operatory te spełniają relację komutacyjną

$[{\hat{x}}_i,{\hat{p}}_j]=\mathrm{i}\hslash {\delta }_{ij}.$

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności. Implikuje ona, że przynajmniej jeden z operatorów ${\hat{x}}_i,{\hat{p}}_i$ musi być operatorem nieograniczonym.

Zobacz też

• obserwabla
• operator energii całkowitej (operator Hamiltona)
• operator momentu pędu
• operator położenia
• operator spinu