Operator położenia

Operator położenia – w mechanice kwantowej obserwabla opisująca położenie obiektu kwantowego. Przejście od położenia do operatora położenia jest nazywane pierwszym kwantowaniem.

Notacja Diraca

W notacji Diraca wektor własny operatora położenia $𝐱$ z wartością własną $x$ oznacza się $|x⟩,$ czyli

$𝐱|x⟩=x|x⟩.$

Stąd działanie operatora położenia na dowolny stan możemy zapisać jako

$𝐱|\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{x}^{\prime }𝐱|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{x}^{\prime }{x}^{\prime }\psi (x^{\prime })|x^{\prime }⟩,$

gdzie $\psi (x^{\prime })=⟨x^{\prime }|\psi ⟩$ jest funkcją falową stanu $|\psi ⟩$ w reprezentacji położeniowej.

Reprezentacja położeniowa i pędowa

Z powyższego wzoru otrzymujemy, że działanie operatora składowej $i$ położenia ${\hat{x}}_i$ w reprezentacji położeniowej odpowiada po prostu mnożeniu funkcji falowej przez $x_i.$ Natomiast w reprezentacji pędowej operator składowej $i$ położenia ma postać

${\hat{x}}_i=i\hslash \frac{\partial }{\partial p_i}$

Wektorowy operator położenia ma postać:

$\overline{x}=i\hslash {\bar{\mathrm{\nabla }}}_p$

gdzie $\bar{\mathrm{\nabla }}$ nazywany jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu

Ważną cechą kwantowego operatora położenia jest to, że nie komutuje on z operatorem pędu. Operatory te spełniają relację komutacyjną

$[x_i,p_j]=i\hslash {\delta }_{ij}.$

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności.

Zobacz też

• obserwabla
• operator całkowitej energii (operator Hamiltona)
• operator pędu
• operator momentu pędu
• operator spinu