Specjalna grupa unitarna

Specjalna grupa unitarna stopnia $n$ oznaczana symbolem $SU(n)$ jest grupą Liego specjalnych macierzy unitarnych $U$ o wyznaczniku równym 1. (Macierze unitarne mają w ogólności wyznacznik zespolony postaci $e^{i\varphi },$ czyli liczbę o module 1).

Istnieją różne reprezentacje danej grupy $SU(n),$ tworzone przez specjalne macierze unitarne tego samego wymiaru. Przy czym:

(1) Reprezentacja fundamentalna grupy $SU(n)$ składa się z macierzy wymiaru $n\times n.$

(2) Inne reprezentacje grupy $SU(n)$ składają się z macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego lub większego niż $n,$ jednakże ich generatory muszą spełniać te same relacje komutacyjne, jak generatory reprezentacji fundamentalnej (dokładniej objaśniono to dalej).

Działaniem w grupie macierzy (dla danej reprezentacji) jest mnożenie macierzy przez siebie, elementem neutralnym mnożenia jest macierz jednostkowa (dla reprezentacji fundamentalnej jest to macierz $n\times n$). Liczba parametrów opisująca macierze grupy $SU(n)$ – niezależnie od reprezentacji – wynosi $n^2-1.$ Każdą specjalną macierz unitarną grupy $SU(n)$ dowolnego wymiaru można bowiem przedstawić za pomocą eksponenty zależnej od najwyżej $n^2-1$ parametrów

$U(n,\overrightarrow{\alpha })=\exp \left(i\sum _{a=1}^{n^2-1}{\alpha }_a{T}_a\right)=e^{i\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{T}},$

gdzie:

$\overrightarrow{\alpha }=(a_1,a_2,\dots ,a_{n^2-1})$ jest $n^2-1$ wymiarowym wektorem parametrów rzeczywistych,

$\overrightarrow{T}=(T_1,T_2,\dots ,T_{n^2-1})$ jest wektorem liniowo niezależnych macierzy hermitowskich o śladzie równym zeru; macierze $T_a$ nazywa się generatorami grupy $SU(n),$

przy czym wymiar generatorow macierzy wymiaru $m$ jest także równy $m.$

Grupę $SU(n)$ definiują związki komutacji (omówiono to dalej), jakie istnieją pomiędzy generatorami jej reprezentacji fundamentalnej. Przy tym związki komutacyjne np. dla grupy $SU(2)$ są inne niż dla $SU(3),$ itd. Generatory reprezentacji fundamentalnej danej grupy $SU(n)$ są macierzami wymiaru $n\times n$ (dla innych reprezentacji generatory są macierzami o mniejszym lub większym wymiarze niż $n$). Ponadto, istnieje wiele możliwych wyborów generatorów dla każdej reprezentacji, dlatego zwykle dodatkowo przyjmuje się warunek normalizacji, określający ślady kwadratów generatorów:

$\text{tr}[(T_a{)}^2]=\frac{1}{2}.$

Generatory algebry Liego su(n) grupy SU(n)

Liczba generatorów

Każda specjalna macierz unitarna $U$ wymiaru $n\times n$ może być przedstawiona w postaci

$U(n)=e^{iH(n)},$

gdzie:

$H(n)$ – macierz hermitowska wymiaru $n\times n$ bezśladowa (tzn. jej ślad jest równy 0),

$i$ – jednostka urojona.

Ponadto, każdą macierz hermitowską bezśladową wymiaru $n\times n$ można wyrazić za pomocą $n^2-1$ liniowo niezależnych, bezśladowych macierzy hermitowskich $T_a$ wymiaru $n\times n,$ tj.

$H(n)=\sum _{a=1}^{n^2-1}{\alpha }_a{T}_a,$

gdzie $T_a$ nazwa się generatorami; generatory tworzą bazę algebry Liego $su(n).$

Dlaczego generatory są bezśladowe

Macierze unitarne $U$ mają wyznacznik równy 1, co implikuje, że macierze $T_a$ muszą być bezśladowe, gdyż:

$\det U=1\text{oraz }$$\det U=\det (e^H)=e^{\mathrm{tr}(H)},$

co implikuje $\mathrm{tr}(H)=0.$

Związki komutacji. Stałe struktury

Generatory są na ogół nieprzemienne – wyniki ich mnożenia tworzą tzw. reguły komutacji, tj. dla liczb $a,b=1,2,\dots ,n$ komutatory są w postaci kombinacji liniowych

$[T_a,T_b]=i\sum _c{f}_{abc}{T}_c,$

gdzie:

$[T^a,T^b]=T^a{T}^b-T^b{T}^a$ – komutator,

$f_{abc},a,b,c=1,2,\dots ,n$ – tzw. stałe struktury grupy.

Relacje komutacji (lub równoważnie: stałe struktury) definiują algebrę Liego $su(n)$ danej grupy $SU(n).$

Wybór generatorów nie jest unikalny; np. z danego zbioru generatorów można otrzymać inny zbiór generatorów za pomocą transformacji podobieństwa, ponieważ transformacja ta nie zmienia komutatorów.

Przy czym macierz $B^{\prime }$ nazywa się podobną do macierzy $B,$ jeżeli

$B^{\prime }=U^{†}BU,$

gdzie $U$ jest macierz unitarną, zaś $U^{†}$ jest jej sprzężeniem hermitowskim.

Ponadto, te same reguły komutacji mogą spełniać macierze innego wymiaru niż dany wymiar $n.$ Macierze te są generatorami reprezentacji niefundamentalnych tej samej grupy $SU(n).$

Reprezentacja fundamentalna grupy

Grupę $SU(n)$ definiuje więc

• postać generatorów reprezentacji fundamentalnej (zwanej także definiującą), tj. postać generatorów reprezentowanych przez macierze wymiaru $n\times n$ albo
• wartości numeryczne stałych struktury $f_{abc}.$

Są to metody równoważne: znając jawną postać generatorów reprezentacji fundamentalnej można wyliczyć stałe struktury i odwrotnie, znając stałe struktury można obliczyć jawną postać generatorów nie tylko w reprezentacji fundamentalnej, ale w dowolnej reprezentacji grupy $SU(n).$

Inne reprezentacje grupy SU(n)

Inne reprezentacje grupy $SU(n)$ otrzymuje się za pomocą generatorów, które są macierzami wymiaru innego niż $n,$ tj. wymiaru $1,2,\dots ,n+1,n+2,\dots$ przy czym warunkiem jest, by generatory spełniały te same warunki komutacyjne co generatory reprezentacji fundamentalnej.

Np. grupa $SU(2)$ ma reprezentację fundamentalną zadaną przez macierze $2\times 2$ (macierze Pauliego, które mnożone przez $1/2\hslash$ definiują operatory spinu o liczbie spinowej $s=1/2$), jednak innymi reprezentacjami tej samej grupy są macierze wymiaru $2s+1=3,4,5,\dots ,$ odpowiadające liczbom spinowym $s=1,3/2,2,$ itd.

Grupa SU(n) jako podgrupa. Izomorfizmy

Specjalna grupa unitarna jest podgrupą grupy macierzy unitarnych $U(n),$ które zachowują iloczyn skalarny, definiowany w przestrzeniach zespolonych $C^n.$ Grupa $U(n)$ jest z kolei podgrupą ogólnej grupy transformacji liniowych $GL(n,ℂ)$ określonej nad ciałem liczb zespolonych.

Grupa $SU(n)$ jest izomorficzna z grupą kwaternionów o normie 1 i dlatego dyfeomorficzna do 3-sfery. Ponieważ jednostkowe kwaterniony mogą reprezentować obroty w przestrzeni 3-wymiarowej (z dokładnością do znaku), to istnieje homeomorfizm z $SU(2)$ do grupy obrotów $SO(3),$ którego jądro jest $[+I,-I].$ Grupa $SU(2)$ jest także identyczna z grupą symetrii spinorów $Spin(3).$

Zastosowania grup SU(n)

Grupy $SU(n)$ znalazły zastosowanie w sformułowaniu Modelu Standardowego cząstek elementarnych:

• $SU(2)$ – w opisie oddziaływań elektrosłabych,
• $SU(3)$ w opisie oddziaływań silnych w chromodynamice kwantowej.

Topologia grupy SU(n)

Specjalna grupa unitarna $SU(n)$ jest rzeczywistą grupą Liego, tj. jest grupą ciągłą i rozmaitością różniczkową o wartościach rzeczywistych, mającą wymiar $n^2-1.$ Topologicznie jest to rozmaitość zwarta.

Grupa SU(1)

Grupa $SU(1)$ przedstawia grupę trywialną, posiadającą jeden element – jest nim macierz jednostkowa $I=[1].$

Grupa SU(2)

Omawia to osobny artykuł Grupa SU(2).

Grupa SU(3)

Topologia

Grupa $SU(3)$ jest rozmaitość różniczkową wymiaru 8, jednospójną i zwartą; jako grupa jest grupą Liego.

Generatory algebry Liego su(3) reprezentacji fundamentalnej

Algebra Liego $su(3)$ związana z grupą Liego $SU(3)$ posiada $3^2-1=8$ generatorów $T_a,a=1,2,\dots ,8.$ Dla reprezentacji fundamentalnej generatory te mają postacie

$T_a=\frac{{\lambda }_a}{2},$

gdzie ${\lambda }_a$ są macierzami Gell-Mann’a (będącymi analogami macierzy Pauliego):

$\begin{array}{cccccc}& {\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),& & {\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),& & {\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\\ & {\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),& & {\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right),\\ & {\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),& & {\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right),& & {\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right).\end{array}$

Macierze te rozpinają przestrzeń macierzy hermitowskich bezśladowych, która jest algebrą Liego su(3). Macierze ${\lambda }_2,{\lambda }_5,{\lambda }_7$ mają elementy urojone.

Reguły komutacyjne/antykomutacyjne

Powyższe generatory $T_a,a=1,2,\dots ,8$ implikują

a) reguły komutacyjne

$[T_a,T_b]=i\sum _{c=1}^8{f}_{abc}{T}_c,$

b) reguły antykomutacyjne

$\{T_a,T_b\}=\frac{1}{3}{\delta }_{ab}{I}_3+\sum _{c=1}^8{d}_{abc}{T}_c$

lub równoważnie

$\{{\lambda }_a,{\lambda }_b\}=\frac{4}{3}{\delta }_{ab}{I}_3+2\sum _{c=1}^8{d}_{abc}{\lambda }_c.$

Stałe struktury

Ze związków komutacyjnych wynika, że stałe struktury $f_{abc}$ algebry $su(3)$ są zupełnie antysymetryczne, tzn. zmieniają znak przy przestawieniu dowolnych dwóch indeksów i mają wartości:

$f_{123}=1,$

$f_{147}=f_{516}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=f_{637}=\frac{1}{2},$

$f_{458}=f_{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Pozostałe stałe o indeksach nie należących do powyższych permutacji zerują się. W ogólności stałe te zerują się, gdy zawierają nieparzystą liczbę indeksów ze zbioru {2, 5, 7}.

Symetryczne stałe

Ze związków antykomutacyjnych wynika, że stałe $d_{abc}$ są symetryczne ze względu na przestawienie dowolnych wskaźników i mają wartości:

$d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}=\frac{1}{\sqrt{3}},$

$d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-\frac{1}{2\sqrt{3}},$

$d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=\frac{1}{2}.$

Stałe zerują się, gdy liczba indeksów ze zbioru {2, 5, 7} jest nieparzysta.

Ślad kwadratów macierzy Gell-Manna

Ślad kwadratów macierzy Gell-Manna wynosi 2, tj.

$\mathrm{tr}({\lambda }_a{\lambda }_b)=2{\delta }_{ab},$

gdzie ${\delta }_{ab}$ - delta Kronekera. Jest tak dlatego, że macierze Pauliego są „wbudowane” w macierze Gell Manna (możliwa byłaby normalizacja śladu do 1).

Normowanie generatorów

Stąd wynika, że generatory są unormowane tak, że

$\text{tr}(T_a{)}^2=\frac{1}{2}.$

Dowód (korzystamy z własności śladu):

$\text{tr}(T_a{)}^2=\text{tr}\left(\frac{{\lambda }_a}{2}\frac{{\lambda }_a}{2}\right)=\text{tr}\left(\frac{1}{4}{\lambda }^2\right)=\frac{1}{4}\text{tr}({\lambda }^2)=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}.$

Podalgebry algebry su(3)

Istnieją trzy podalgebry su(2) algebry su(3)

• $\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\},$
• $\{{\lambda }_4,{\lambda }_5,x\}$ oraz
• $\{{\lambda }_6,{\lambda }_7,y\}.$

Operatory Casimira – niezmienniki algebry su(3)

Suma kwadratów macierzy Gell Manna jest tzw. operatorem Casimira, który jest jednym z niezmienników algebry su(3)

$C=\sum _{i=1}^8{\lambda }_i{\lambda }_i=\frac{16}{3}\cdot I,$

gdzie $I$ jest macierzą jednostkową 3×3.

Analogicznie definiuje się sześcienny operator Casimira, który też jest niezmiennikiem grupy.

Generowanie ogólnego elementu

Ogólny element grupy SU(3) generowany przez bezśladową macierz hermitowską $H$ wymiaru 3×3, taką że $\text{tr}(H^2)=2$ można wyrazić za pomocą wielomianu 2-go rzędu macierzy $H$

$\begin{array}{cc}\exp (i\theta H)& =[-\frac{1}{3}I\sin (\phi +\frac{2\pi }{3})\sin (\phi -\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{2\sqrt{3}}H\sin (\phi )-\frac{1}{4}{H}^2]\frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}}i\theta \sin (\phi ))}{\cos (\phi +\frac{2\pi }{3})\cos (\phi -\frac{2\pi }{3})}\\ & +[-\frac{1}{3}I\sin (\phi )\sin (\phi -\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{2\sqrt{3}}H\sin (\phi +\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{4}{H}^2]\frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}}i\theta \sin (\phi +\frac{2\pi }{3}))}{\cos (\phi )\cos (\phi -\frac{2\pi }{3})}\\ & +[-\frac{1}{3}I\sin (\phi )\sin (\phi +\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{2\sqrt{3}}H\sin (\phi -\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{4}{H}^2]\frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}}i\theta \sin (\phi -\frac{2\pi }{3}))}{\cos (\phi )\cos (\phi +\frac{2\pi }{3})},\end{array}$

gdzie:

$\phi \equiv \frac{1}{3}[\arccos (\frac{3\sqrt{3}}{2}\det H)-\frac{\pi }{2}].$

Zastosowania w chromodynamice kwantowej

Macierz Gell-Manna służą do opisu symetrii kolorowej pola gluonowego, które powstaje z cechowania pola kwarkowego. Faza ${\theta }^a(𝐫,t),a=1,\dots ,8$ pola gluonowego $U$ musi mieć lokalną symetrię czasoprzestrzenną opisaną grupą SU(3), gdzie $U=\exp (i\sum _{a=1}^8{\theta }^a(𝐫,t){\lambda }_a/2).$

Reprezentacja grupy. Reprezentacje wierne

Grupa jest abstrakcyjnym zbiorem obiektów o określonych własnościach. Reprezentacją macierzową grupy $G$ nazywa się przekształcenie zachowujące strukturę grupową, czyli homomorfizm grupy w zbiór macierzy kwadratowych $D$ takie, że

$D(g_1\circ g_2)=D(g_1)\cdot D(g_2),$

gdzie $\circ$ oznacza działanie grupowe, a kropka mnożenie macierzy.

A więc zbiór macierzy $D(g_i)$ tworzy grupę.

Reprezentację grupy G nazywa się wierną i równoważną, kiedy przekształcenie elementów grupy w zbiór macierzy jest izomorfizmem, czyli przekształceniem wzajemnie jednoznacznym. Wówczas reprezentacja ma następujące własności:

$D(e)=1,$

$D(g\circ g^{-1})=D(g)\cdot D(g^{-1})=1,$

to znaczy:

• element neutralny grupy przechodzi w macierz jednostkową,
• element odwrotny do $g$ jest reprezentowany przez macierz odwrotną do $D(g).$

Zobacz też

Grupy transformacji

• grupa Lorentza
• grupa obrotów
• grupa SU(2)

Pojęcia powiązane

• algebra Liego
• grupa Liego
• reprezentacja grupy
• symetria unitarna
• teoria grup

Bibliografia

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, Szablon:ISBN.
• David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press, 2008.
• Thanu Padmanabhan, Quantum Field Theory: The Why, What and How, Springer, Heidelberg 2016.

Linki zewnętrzne

• S. Mrówczyński, Grupa SU(N) i jej reprezentacje
• A. Trautman, Grupy oraz ich reprezentacje oraz ich zastosowania w fizyce
• C. Koerber, Lie Algebra Representation Theory – SU(3)-Representations in Physics