Pełna grupa liniowa

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa), GL(n, R) – grupa wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia $n$ nad danym pierścieniem $R,$ z mnożeniem macierzy jako działaniem określonym w grupie.

Definicja formalna

Pełną grupą liniową $\mathrm{GL}(n,R)$ nazywamy uporządkowaną czwórkę $(U_n(R),\cdot ,{}^{-1},I),$ gdzie:

• $R$ jest pierścieniem łącznym z jedynką,
• $U_n(R)=\{A\in R_n^n:A\text{ jest odwracalna}\},$ – zbiór macierzy kwadratowych wymiaru n, odwracalnych,
• działaniem grupowym jest mnożenie macierzy,
• operacją brania elementu odwrotnego jest odwracanie macierzy
• elementem neutralnym jest macierz jednostkowa.

Dowolną podgrupę pełnej grupy liniowej nazywa się po prostu grupą liniową. Z punktu widzenia teorii kategorii operator $\mathrm{GL}(n,\cdot )$ jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup.

Przestrzenie liniowe

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K,$ wówczas pełną grupą liniową przestrzeni liniowej oznaczaną przez $\mathrm{GL}(V)$ lub $\mathrm{Aut}(V)$ nazywamy grupę wszystkich automorfizmów $V,$ tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych $V\to V$ ze składaniem funkcji jako działaniem grupowym.

Jeżeli przestrzeń $V$ ma skończony wymiar $\dim V=n,$ to $\mathrm{GL}(V)$ oraz $\mathrm{GL}(n,K)$ są izomorficzne. Jednakże izomorfizm nie jest kanoniczny, gdyż zależy od wyboru bazy w $V.$ Jeżeli $(e_1,\dots ,e_n)$ jest bazą uporządkowaną $V,$ zaś $T$ automorfizmem $\mathrm{GL}(V),$ to mamy

$T{e}_k=\sum _{j=1}^n{a}_{jk}{e}_j$

dla pewnych stałych $a_{jk}\in K.$ Macierz odpowiadająca $T$ składa się po prostu z wyrazów $a_{jk}.$

Podobnie grupa $\mathrm{GL}(n,R)$ pierścienia $R$ może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego $R$-modułu o randze $n.$

Wyznaczniki

Macierz jest odwracalna nad ciałem $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Stąd $\mathrm{GL}(n,K)$ może być zdefiniowana jako grupa macierzy o niezerowym wyznaczniku.

Definicja dla pierścienia przemiennego $R$ jest nieco subtelniejsza: macierz nad $R$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest elementem odwracalnym w $R,$ tzn. jej wyznacznik jest odwracalny w $R.$ Stąd $\mathrm{GL}(n,R)$ może być zdefiniowana jako grupa macierzy o wyznacznikach będących elementami odwracalnymi.

Rozważanie wyznaczników nad pierścieniem nieprzemiennym $R$ nie ma sensu. W tym przypadku grupa $\mathrm{GL}(n,R)$ może być zdefiniowana jako grupa elementów odwracalnych $M(n,R).$

Specjalna grupa liniowa SL(n, R)

Specjalną grupą liniową stopnia $n$ nad ciałem $K$ nazywamy grupę liniową zawierającą wszystkie macierze kwadratowe stopnia $n$ o elementach z ciała $K,$ których wyznacznik jest równy jedności. Specjalną grupę liniową oznacza się przez $\mathrm{SL}(n,K)$ lub ${\mathrm{SL}}_n(K).$

Własności

• Macierze te tworzą grupę, gdyż wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników (twierdzenie Cauchy’ego), zatem jest ona zamknięta ze względu na to działanie.
• Jeżeli $K=ℝ$ lub $K=ℂ,$ to $\mathrm{SL}(n)$ jest grupą Liego wymiaru $n^2-1;$ grupa ta jest podgrupą grupy $\mathrm{GL}(n).$
• Algebra Liego $\mathrm{sl}(n)$ grupy $\mathrm{SL}(n)$ składa się ze wszystkich macierzy $K_n^n$ o zerowym śladzie; nawias Liego tej algebry jest zadany przez komutator macierzy.
• Specjalna grupa liniowa $\mathrm{SL}(n,ℝ)$ może być scharakteryzowana jako grupa przekształceń liniowych ${ℝ}^n$ zachowujących objętość i orientację.

Rozmaitość algebraiczna

Szablon:Sekcja stub $\mathrm{GL}(n,K)$ może być rozważana jako otwarta podrozmaitość przestrzeni afinicznej wymiaru $n^2$ nad $K.$

Ciała skończone

Jeżeli $K$ jest ciałem skończonym o $q$ elementach, to zamiast $\mathrm{GL}(n,K)$ piszemy czasami $\mathrm{GL}(n,q).$ Jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą, to $\mathrm{GL}(n,p)$ jest grupą automorfizmów zewnętrznych grupy ${\mathbb{Z}}_p^n,$ a zarazem grupą automorfizmów, ponieważ ${\mathbb{Z}}_p^n$ jest abelowa, zatem grupa automorfizmów wewnętrznych jest trywialna.

Rząd grupy

Rząd grupy $\mathrm{GL}(n,K)$ wynosi

$|\mathrm{GL}(n,K)|=\prod _{i=0}^{n-1}(q^n-q^i).$

Można udowodnić ten fakt poprzez zliczanie możliwych kolumn macierzy: pierwsza może być dowolną poza wektorem zerowym, druga – dowolną z wyjątkiem wielokrotności pierwszej, wreszcie $k$-ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza powłoki liniowej pierwszych $k-1$ kolumn.

Przykładowo $\mathrm{GL}(3,2)$ ma rząd równy $(8-1)(8-2)(8-4)=168.$ Jest to grupa automorfizmów płaszczyzny Fana oraz grupy ${\mathbb{Z}}_2^3.$

Ogólniej, można policzyć punkty grassmannianianu nad $K,$ innymi słowy: liczbę podprzestrzeni danego wymiaru $k.$ Wymaga to jedynie znalezienia rzędu podgrupy izotropii jednej z takiej podprzestrzeni oraz podzielenia powyższego wzoru na podstawie twierdzenia o stabilizatorze.

Związek między tymi wzorami a liczbami Bettiego grassmannianów zespolonych, był jednym z tropów prowadzących do hipotezy Weila.

Analogiczny wzór dla $\mathrm{SL}(n,K)$ to

$|\mathrm{SL}(n,K)|=\frac{1}{q-1}\prod _{i=0}^{n-1}(q^n-q^i).$

Inne podgrupy

Podgrupy diagonalne

Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy diagonalnych tworzy podgrupę grupy $\mathrm{GL}(n,K),$ nazywaną podgrupą diagonalną, izomorficzną z ${\left(K^{*}\right)}^n.$ W ciałach takich jak $ℝ,$ czy $ℂ$ odpowiada ona skalowaniu przestrzeni; są to tzw. dylatacje i kontrakcje.

W szczególności, jeżeli wszystkie elementy na diagonali są równe, to macierz jest tzw. macierzą skalarną, będąca iloczynem stałej liczby oraz macierzy jednostkowej.

Grupy klasyczne

Tak zwane grupy klasyczne są podgrupami $\mathrm{GL}(V)$ zachowującymi pewien rodzaj formy dwuliniowej w przestrzeni liniowej $V.$ Są to między innymi

• grupa ortogonalna, $𝒪(V),$ zachowująca niezdegenerowaną symetryczną formę dwuliniową na $V,$
• grupa symplektyczna, $\mathrm{Sp}(V),$ zachowująca formę symplektyczną na $V$ (niezdegenerowaną antysymetryczną formę dwuliniową),
• grupa unitarna, $\mathrm{U}(V),$ zachowująca niezdegenerowaną formę hermitowską na $V,$ o ile $K=ℂ.$

Grupy te są ważnymi przykładami grup Liego.

Własności

• Jeśli $n>2,$ to $\mathrm{GL}(n,K)$ nie jest abelowa.
• $\mathrm{SL}(n,K)$ jest podgrupą normalną $\mathrm{GL}(n,K).$
• Niech $K^{*}$ będzie grupą multiplikatywną (złożoną z wszystkich elementów $K$ różnych od zera) ciała $K,$ wówczas wyznacznik jest homomorfizmem grup:

  $\det :\mathrm{GL}(n,K)\to K^{*}.$

• Z definicji jądra wynika, że jądrem $\det$ jest zbiór macierzy o wyznaczniku równym jedności, zatem $\ker \det =\mathrm{SL}(n,K).$
• Więcej, $\mathrm{GL}(n,K)$ jest produktem półprostym $\mathrm{SL}(n,K)⋊K^{*}.$
• Grupa $\mathrm{SL}(n,ℂ),$ w przeciwieństwie do $\mathrm{SL}(n,ℝ),$ jest jednospójna. Dodatkowo $\mathrm{SL}(n,ℝ)$ ma tę samą grupę podstawową co grupa addytywna ${\mathrm{GL}}^{+}(n,ℝ),$ czyli $\mathbb{Z}$ dla $n=2$ oraz ${\mathbb{Z}}_2$ dla $n>2.$
• Zbiór wszystkich niezerowych macierzy skalarnych jest podgrupą $\mathrm{GL}(n,K)$ izomorficzną z $K^{*}.$
• Grupa skalarna stanowi centrum $\mathrm{GL}(n,K),$ zatem jest ona normalna i przemienna.
• Centrum $\mathrm{SL}(n,K)$ to po prostu zbiór wszystkich macierzy z wyznacznikiem jednostkowym, podgrupa ta jest izomorficzna z grupą pierwiastków z jedynki $n$-tego stopnia w ciele $K.$

Podobne grupy

Projektywna grupa liniowa

Projektywna grupa liniowa $\mathrm{PGL}(n,K)$ oraz specjalna projektywna grupa liniowa $\mathrm{PSL}(n,K)$ są grupami ilorazowymi $\mathrm{GL}(n,K)$ oraz $\mathrm{SL}(n,K)$ przez ich centra (które składają się z pewnych wielokrotności macierzy jednostkowej).

Grupa afiniczna

Grupa afiniczna $\mathrm{Aff}(n,K)$ jest rozszerzeniem $\mathrm{GL}(n,F)$ o grupę przesunięć w $K^n.$ Zapisuje się ją jako produkt półprosty:

$\mathrm{Aff}(n,K)=\mathrm{GL}(n,K)⋉K^n,$

gdzie $\mathrm{GL}(n,K)$ działa na $K^n$ w naturalny sposób. Grupa afiniczna może też być postrzegana jako grupa wszystkich przekształceń afinicznych przestrzeni afinicznej nad przestrzenią liniową $K^n.$

Zobacz też

Grupy

• grupa obrotów SO(2)
• grupa obrotów SO(n)
• grupa unitarna SU(2)
• grupa unitarna SU(n)

Inne pojęcia

• macierz odwracalna
• wyznacznik

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.