Twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników)

Twierdzenie Cauchy’ego – twierdzenie przypisywane Cauchy’emu, podające wzór na wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych.

Twierdzenie

Niech $A,B$ będą macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia nad tym samym pierścieniem przemiennym (ciałem), wówczas wyznacznik ich iloczynu jest równy iloczynowi ich wyznaczników, czyli prawdziwy jest wzór

$\det (AB)=\det A\cdot \det B.$

Dowód

• Niech

$A=[a_{ij}]\in M,B=[b_{ij}],i,j=1,\dots ,n$

• Rozważmy macierz klatkową

$P:=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ -I& B\end{array}\right].$

• Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej: $\det P=\det A\cdot \det B(\star )$
• Wykonując operacje elementarne na macierzy $P$ sprowadzimy ją do postaci $\left[\begin{array}{cc}A& AB\\ -I& 0\end{array}\right]$

Pomnóżmy pierwszą kolumnę macierzy $P$ przez element $b_{11},$ drugą kolumnę przez $b_{21},$ trzecią przez $b_{31},\dots ,$ n-tą przez $b_{n1},$ a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+1. Otrzymamy następującą macierz:

$\left[\begin{array}{ccccccc}& & & a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}+\dots +a_{1n}{b}_{n1}& 0& \dots & 0\\ & A& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ & & & a_{n1}{b}_{11}+a_{n2}{b}_{21}+\dots +a_{nn}{b}_{n1}& 0& \dots & 0\\ & & & 0& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ & -I& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ & & & 0& b_{n2}& \dots & b_{nn}\end{array}\right]$

Pomnóżmy pierwszą kolumnę powyższej macierzy przez element $b_{12},$ drugą kolumnę przez $b_{22},$ trzecią przez $b_{32},\dots ,$ n-tą przez $b_{n2},$ a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+2. Otrzymamy następującą macierz:

$\left[\begin{array}{cccccccc}& & & a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}+\dots +a_{1n}{b}_{n1}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}+\dots +a_{1n}{b}_{n2}& 0& \dots & 0\\ & A& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ & & & a_{n1}{b}_{11}+a_{n2}{b}_{21}+\dots +a_{nn}{b}_{n1}& a_{n1}{b}_{12}+a_{n2}{b}_{22}+\dots +a_{nn}{b}_{n2}& 0& \dots & 0\\ & & & 0& 0& b_{13}& \dots & b_{1n}\\ & -I& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ & & & 0& 0& b_{n3}& \dots & b_{nn}\end{array}\right]$

Wykonując dalej analogiczne czynności otrzymamy macierz:

$Q:=\left[\begin{array}{cc}A& AB\\ -I& 0\end{array}\right].$

• Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika, więc $\det P=\det Q.$
• Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej mamy: $\det Q=(-1{)}^{n^2}\det (-I)\det (AB)=(-1{)}^{n^2}\cdot (-1{)}^n\det I\det (AB)=\det (AB)(\star \star )$

$(n^2+n$ jest zawsze parzyste, więc $(-1{)}^{n^2+n}=1)$

• $(\star ),(\star \star )\Rightarrow \det A\cdot \det B=\det P=\det Q=\det (AB).$ Co kończy dowód twierdzenia.

Wnioski

• $\det (AB)=\det A\cdot \det B=\det B\cdot \det A=\det (BA)$
• Jeżeli $A$ jest macierzą odwracalną, wówczas jest ona także nieosobliwa. Ponieważ $\det I=1$ oraz $A{A}^{-1}=I,$ to $\det A{A}^{-1}=1$ i dalej $\det A\cdot \det A^{-1}=1,$ a stąd $\det A^{-1}=(\det A{)}^{-1}.$ Słownie: wyznacznik macierzy odwrotnej do danej jest równy odwrotności wyznacznika tej macierzy.
• Wyznaczniki macierzy podobnych są równe, niech $A$ oraz $B$ będą takimi macierzami, wtedy

  $\det B=\det (P^{-1}AP)=\det (P{P}^{-1}A)=\det A.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Cauchy Binet formula Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].