Kontrakcja (matematyka)

Kontrakcja, odwzorowanie zwężająceSzablon:Odn – przekształcenie $f$ z przestrzeni metrycznej $(X,{\varrho }_X)$ w przestrzeń metryczną $(Y,{\varrho }_Y),$ dla którego istnieje stała rzeczywista $\alpha \in [0,1)$ taka, że dla dowolnych $x_1,x_2\in X$ zachodzi nierównośćSzablon:Odn:

${\varrho }_Y(f(x_1),f(x_2))⩽\alpha {\varrho }_X(x_1,x_2).$

Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała $\alpha ,$ dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcjiSzablon:Fakt.

Własności

• Każda kontrakcja, jako funkcja lipschitzowska, jest ciągła i to jednostajnie.
• Każda kontrakcja niepustej przestrzeni zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały; fakt ten jest znany jako twierdzenie Banacha o kontrakcji. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – nie tylko kontrakcje mają punkty stałe.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj książkę