Grupa SO(2)

Grupa SO(2), specjalna grupa ortogonalna rzędu 2 – grupa macierzy ortogonalnych stopnia 2 o wyznaczniku 1. Macierze te mają postać

M = (\begin{matrix} x & - y \\ y & x \end{matrix}),

gdzie:

x, y \in R

oraz

x^{2} + y^{2} = 1

(ostatni warunek gwarantuje, że

\det M = 1

).

Działaniem grupowym jest operacja mnożenia macierzy.

Parametryzacja grupy SO(2)

Grupa ta jest parametryzowalna przez parametr $ϕ \in [0, 2 π] :$

M (ϕ) = (\begin{matrix} \cos (ϕ) & - \sin (ϕ) \\ \sin (ϕ) & \cos (ϕ) \end{matrix}) .

Parametrowi $ϕ$ można nadać sens kąta obrotu na płaszczyźnie. Grupa SO(2) jest więc grupą obrotów na płaszczyźnie.

Grupa macierzy SO(2) jest izomorficzna z grupą liczb zespolonych o module 1, tj. z grupą liczb postaci $e^{i ϕ} .$

Grupa macierzy SO(2) z nawiasem Liego zadanym przez komutator

[A_{1}, A_{2}] = A_{1} A_{2} - A_{2} A_{1}

staje się grupą Liego $S O (2) .$ Generatorem tej grupy jest macierz

G = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] .

Każdą macierz grupy $S O (2)$ wymiaru $2 \times 2$ można otrzymać z eksponenty generatora, mnożonego przez parametr $ϕ$

M (ϕ) = e^{ϕ G} .

H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1997.