Eksponenta macierzy

Eksponenta macierzy – funkcja macierzowa zdefiniowana dla macierzy kwadratowych analogicznie jak klasyczna funkcja wykładnicza. Eksponentą macierzy rzeczywistej lub zespolonej $X$ wymiaru $n\times n$ jest macierz wymiaru $n\times n,$ oznaczana jako $e^X$ albo $\exp (X),$ zadana przez szereg potęgowy:

$e^X=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{X}^k,$

przy czym przyjmuje się:

• $X^0=I,$
• w szczególności $0^0=I,$

gdzie:

• $I$ – macierz jednostkowa $n\times n,$
• $0$ – macierz zerowa $n\times n.$

Twierdzenia I

Oznaczenia:

• $X,$ $Y$ – dowolne macierze zespolone $n\times n$
• $a,$ $b$ – dowolne liczby zespolone

Twierdzenia:

(1) $e^0=I$

(2) $e^{X^T}=(e^X{)}^T$

gdzie $X^T$ – macierz transponowana macierzy $X$

(3) $e^{X^{†}}=(e^X{)}^{†}$

gdzie $X^{†}$ – macierz hermitowsko sprzężona do macierzy $X$

(4) Jeżeli macierz $Y$ jest odwracalna, to $e^{YX{Y}^{-1}}=Y{e}^X{Y}^{-1}$

(5) Jeżeli macierze $X$ i $Y$ komutują (tzn. ich mnożenie jest przemienne, $XY=YX$), to

$e^X{e}^Y=e^{X+Y}$

Z tw. (5) wynika, że

(6) $e^X{e}^{-X}=e^0=I$

(7) $e^{aX}{e}^{bX}=e^{(a+b)X}$

Twierdzenia II

(8) Jeżeli $X$ jest macierzą symetryczną, to $e^X$ jest macierzą symetryczną.

(9) Jeżeli $X$ jest macierzą antysymetryczną, to $e^X$ jest macierzą ortogonalną.

(10) Jeżeli $X$ jest macierzą hermitowską, to $e^X$ jest macierzą hermitowską.

(11) Jeżeli $X$ jest macierzą antyhermitowską, to $e^X$ jest macierzą unitarną.

Obliczanie eksponenty macierzy

Macierz diagonalna

Jeżeli macierz jest diagonalna

$D=\left[\begin{array}{cccc}{d}_1& 0& \dots & 0\\ 0& d_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & d_n\end{array}\right],$

to

$e^D=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{d_1}& 0& \dots & 0\\ 0& e^{d_2}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & e^{d_n}\end{array}\right].$

Macierz diagonalizowalna

Jeżeli macierz $X$ można przedstawić w postaci

$X=YD{Y}^{-1},$

gdzie $D$ – macierz diagonalna, to z tw. (4) wynika, że

$e^X=Y{e}^D{Y}^{-1}.$

Tw. Liego o eksponencie sumy macierzy

Jeżeli $X$ oraz $Y$ nie komutują, to można obliczyć eksponentę sumy tych macierzy, posługując się twierdzeniem Liego

$e^{X+Y}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(e^{\frac{1}{k}X}{e}^{\frac{1}{k}Y}\right)}^k.$

Jeżeli użyje się dostatecznie dużej wartości $k$ (np. $k=10^6$), to otrzyma się dokładne przybliżenie, często używane w numerycznego obliczania ewolucji w czasie jednowymiarowych układów kwantowych o wielu cząstkach, gdyż wtedy

$e^{X+Y}\approx {\left(e^{\frac{1}{k}X}{e}^{\frac{1}{k}Y}\right)}^k.$

Tw. Bakera-Campbelli-Hausdorffa

Gdy $X$ oraz $Y$ są dostatecznie małe i niekoniecznie komutują, to

$e^X\cdot e^Y=e^Z,$

gdzie $Z$ jest nieskończonym szeregiem komutatorów, utworzonych z macierzy $X$ oraz $Y,$ zgodnie z tw. Szablon:Link-interwiki

$Z=X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[X,[X,Y]]-\frac{1}{12}[Y,[X,Y]]+\dots ,$

gdzie $[X,Y]=XY-YX,$ itp. Pozostałe składniki szeregu stanowią bardziej złożone komutatory, zawierające $X$ oraz $Y.$

Jeżeli $X$ oraz $Y$ komutują, tj. $[X,Y]=0,$ to wszystkie inne komutatory zerują się i otrzymuje się prosty wzór

$e^X\cdot e^Y=e^{X+Y}$

Numeryczne liczenie eksponenty macierzy

Obliczanie eksponenty macierzy w ogólnym przypadku nie jest proste. Poniżej podano kod w języku python, służący do numerycznego obliczenia eksponenty macierzy, korzystający z biblioteki NumPy, dedykowanej do obliczeń na macierzach. NumPy zawiera funkcję expm, która oblicza eksponentę macierzy. Program można uruchomić, korzystając np. z darmowego notatnika colab google online, przy czym macierz do obliczeń zadaje się w linii 4 programu, podając kolejne jej wiersze. Poniższy kod liczy eksponentę macierzy

$2\times 2,$

ale łatwo go zmodyfikować do liczenia eksponenty macierzy

$n\times n.$

Np. X = np. array([[1, 1, 1], [2, 1, 0], [3, 0,1]]) – macierz

$n\times n$

z zapisanymi kolejnymi wierszami, zaczynając od wiersza 1-go.

import numpy as np
from scipy.linalg import expm

X = np.         array([[1, 0], [0, 1]])
expX = expm(X)

print(expX)

# Wynik
# [[2.71828183 0.        ]
# [0.         2.71828183]]

Przykłady

Macierze niekomutujące

Niech będą dane macierze

$X=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

Macierze te nie komutują ze sobą, gdyż:

$XY-YX=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right]$

Nie są więc spełnione założenia Tw. (5). Obliczając eksponenty $A=e^X$ oraz $B=e^Y$ (np. korzystając z kodu w python, podanego wyżej), a następnie mnożąc otrzymane macierze $A,B$ przez siebie otrzyma się:

$e^X{e}^Y=\left[\begin{array}{cc}2,71828183& 2,71828183\\ 0& 7,3890561\end{array}\right]$

zaś

$e^{X+Y}=\left[\begin{array}{cc}2,71828183& 4,67077427\\ 0& 7,3890561\end{array}\right]$

Widać, że tym wypadku $e^X{e}^Y\ne e^{X+Y}.$

Macierze komutujące

Niech będą dane macierze (tzw. macierze obrotu)

$X=\left[\begin{array}{cc}\cos x& -\sin x\\ \sin x& \cos x\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{cc}\cos y& -\sin y\\ \sin y& \cos y\end{array}\right]$

Macierze te komutują ze sobą dla dowolnych kątów $x,y,$ tj. zawsze mamy:

$XY-YX=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Z tw. (5) wynika, że w tym wypadku jest prawdą, że $e^X{e}^Y=e^{X+Y}.$

Przykładowo, dla $x=\pi /2,y=\pi /4$ mamy

$X=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right],Y=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$

Obliczając eksponenty $A=e^X$ oraz $B=e^Y$ (np. korzystając z kodu w python, podanego wyżej), a następnie mnożąc otrzymane macierze $A,B$ przez siebie, otrzymuje się:

$e^X\cdot e^Y=\left[\begin{array}{cc}-0,27559796& -2,0093024\\ -2,0093024& -0,27559796\end{array}\right]$

Obliczając macierz $C=X+Y,$ a następnie jej eksponentę, otrzymuje się

$e^{X+Y}=\left[\begin{array}{cc}-0,27559796& -2,0093024\\ -2,0093024& -0,27559796\end{array}\right]$

Widać, iż teraz $e^X{e}^Y=e^{X+Y}.$

Zobacz też

• diagonalizacja macierzy
• macierz przejścia (automatyka)

Bibliografia

• Bellman R.E., Introduction to Matrix Analysis, 2nd ed., New York: McGraw-Hill, 1970.
• Moler C., van Loan C., „Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later”, SIAM Rev. 45, 3-49, 2003.
• Cohen-Tannoudji Claude, Diu Bernard, Laloe Frank, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-04-11].