Diagonalizacja

Szablon:Dopracować Diagonalizacja – sprowadzenie macierzy kwadratowej do postaci diagonalnej, a konkretniej rozkład macierzy $A\in M_k(K)$ na iloczyn macierzy $P,\mathrm{\Delta },P^{-1}\in M_k(K):$

$A=P\mathrm{\Delta }{P}^{-1},$

gdzie $\mathrm{\Delta }$ jest macierzą diagonalną.

Macierz $P$ jest nazywana macierzą przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej $\mathrm{\Delta }$ są równe kolejnym wartościom własnym macierzy $A,$ z kolei kolumny macierzy $P$ stanowią kolejne wektory własne macierzy $A.$

Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

Zastosowanie

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

$\begin{array}{cc}{A}^n& =(P\mathrm{\Delta }{P}^{-1}{)}^n=\stackrel{n}{\overbrace{P\mathrm{\Delta }{P}^{-1}P\mathrm{\Delta }{P}^{-1}\dots P\mathrm{\Delta }{P}^{-1}}}\\ & =P{\mathrm{\Delta }}^n{P}^{-1}=P\mathrm{diag}({\lambda }_1^n\dots {\lambda }_k^n)P^{-1},\end{array}$

gdzie:

• $P^{-1}P=I_k,$ gdzie $I_k$ jest macierzą jednostkową stopnia $k,$
• ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ są wartościami własnymi macierzy $A,$
• ${\mathrm{\Delta }}^n=\mathrm{diag}({\lambda }_1^n\dots {\lambda }_k^n)$ jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.

Własności

Macierze symetryczne i hermitowskie są diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie – tzn. istnieje dla nich unitarna macierz przejścia dla rozkładu diagonalnego.

W szczególności:

• jeśli $A$ jest macierzą symetryczną, to ma rozkład diagonalny $A=P\mathrm{\Delta }{P}^{-1},$ w którym $P$ jest pewną macierzą ortogonalną,
• jeśli $A$ jest macierzą hermitowską, to ma rozkład diagonalny $A=P\mathrm{\Delta }{P}^{-1},$ w którym $P$ jest pewną macierzą unitarną, a wartości własne są rzeczywiste,

Jeśli dla pewnej macierzy $A$ mamy rozkład diagonalny

$A=P\mathrm{\Delta }{P}^{-1},$

wówczas:

• macierze $A$ i $\mathrm{\Delta }$ są podobne,
• iloczyn wszystkich wartości własnych macierzy $A$ jest równy jej wyznacznikowi,
• jeśli $A$ jest macierzą dodatnio określoną, wartości własne są nieujemne.

Diagonalizacja Jacobiego

Załóżmy, że $(V,\xi )$ jest przestrzenią ortogonalną oraz $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ jest bazą $V$ taką, że dla każdego $1⩽k⩽n-1$ zachodzi $g({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k)\ne 0$ (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła $({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)$ przestrzeni $V,$ w której $\xi$ ma macierz:

$\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\Delta }}_1& 0& 0& 0& \dots & 0\\ 0& \frac{{\mathrm{\Delta }}_2}{{\mathrm{\Delta }}_1}& 0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \frac{{\mathrm{\Delta }}_3}{{\mathrm{\Delta }}_2}& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-1}}{{\mathrm{\Delta }}_{n-2}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \frac{{\mathrm{\Delta }}_n}{{\mathrm{\Delta }}_{n-1}}\end{array}\right],$ gdzie ${\mathrm{\Delta }}_k=g({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k)$ dla $k\in \{1,\dots ,n\}$

Zobacz też

• postać Jordana