Określoność formy

Określoność formy – właściwość formy kwadratowej $Q(𝐱)$ określonej na rzeczywistej przestrzeni liniowej $V$.

• Jeżeli forma przyjmuje wartości tego samego znaku dla wszystkich punktów $𝐱$ przestrzeni liniowej, to nazywa się ją określoną.
• Jeżeli forma przyjmuje wartości tego samego znaku albo zeruje się dla niektórych punktów $𝐱$ przestrzeni liniowej, to nazywa się ją półokreśloną.
• Jeżeli forma przyjmuje dla jednych punktów $𝐱$ wartości dodatnie, a dla innych ujemne, to nazywa się ją nieokreśloną.

Rodzaje form określonych

Spośród form określonych i półokreślonych wyróżnia się następujące typy:

jeżeli dla każdego $𝐱\ne \mathrm{𝟎}$ jest

• $Q(𝐱)>0$ – formę nazywa się dodatnio określoną (dodatnia),
• $Q(𝐱)<0$ – formę nazywa się ujemnie określoną (ujemna),
• $Q(𝐱)⩾0$ – formę nazywa się nieujemnie określoną (nieujemna; dodatnio półokreślona),
• $Q(𝐱)⩽0$ – formę nazywa się niedodatnio określoną (niedodatnia; ujemnie półokreślona).

Uwaga: Znaki elementów macierzy nie mają bezpośredniego związku z określonością macierzy (patrz przykłady poniżej).

Macierze odpowiadające formom

(1) Formie kwadratowej $Q$(i zapisanej w postaci symetrycznej – patrz niżej) zdefiniowanej na przestrzeni n-wymiarowej można przypisać macierz w następujący sposób

$Q(𝐱)\equiv Q(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j={𝐱}^{\text{T}}A𝐱,$

gdzie $𝐱=[x_1,\dots ,x_n]$ jest dowolnym wektorem o $n$ współrzędnych $x_1,\dots ,x_n,$ takich że nie wszystkie współrzędne są równe zeru; Szablon:Nowrap oznacza transpozycję; $A=[a_{ij}]$ oznacza macierz symetryczną $n\times n.$

Uwaga: Zakłada się, że forma ma postać symetryczną, tj. $a_{ij}=a_{ji}.$ Jeżeli by tak nie było, to łatwo nadać formie postać symetryczną zastępując współczynniki formy $a_{ij},a_{ji}$ przez ich średnie arytmetyczne, tj. przyjmując

$a{\text{'}}_{ij}=a{\text{'}}_{ji}=(a_{ij}+a_{ji})/2.$

Przy takiej zamianie forma nie ulegnie zmianie, a tylko przegrupowane zostają jej wyrazy.

(2) Macierz $A$ jest

• diagonalna, gdy forma zawiera wyłącznie wyrazy z kwadratami zmiennych,
• ma wyrazy pozadiagonalne, gdy forma zawiera składniki z iloczynami dwóch różnych zmiennych.

(3) Def. Macierze formy nazywa się macierzami określonymi/nieokreślonymi itd. jeżeli odpowiadają formom określonym/nieokreślonym itd.

Formy zdegenerowane/niezdegenerowane

Def. 1. Formę nazywamy zdegenerowaną, jeżeli jest równa zero dla wszystkich wartości $𝐱.$

Def. 2. Formę nazywamy niezdegenerowaną, jeżeli istnieje choć jedna wartość $𝐱,$ dla której forma jest różna od zera.

Tw. 1. Forma jest zdegenerowana, jeżeli wyznacznik macierzy formy jest równy zeru.

Formy dwuliniowe

Tw. 2. Każdej formie kwadratowej $Q(x)$ odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa $B(x,x)$ określona na tej samej przestrzeni, tak że zachodzą związki

$Q(x)=B(x,x),$

$B(x,y)=B(y,x)=\frac{1}{2}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).$

Def. 3. Formę symetryczną dwuliniową nazywa się określoną, nieokreśloną, półokreśloną itd. odpowiednio do odpowiadającej jej formy kwadratowej.

Tw. 3. Jeżeli forma kwadratowa $Q$ jest zadana za pomocą symetrycznej formy dwuliniowej $B(𝐱,𝐲)$ wzorem

$Q(𝐱)=B(𝐱,𝐱),$

to macierze tych form są równe.

Wynika stąd, że ma sens mówienie nie tylko o określoności (lub jej braku) macierzy form kwadratowych, ale i o określoności dowolnych form dwuliniowych symetrycznych.

Każda macierz kwadratowa może więc być macierzą pewnej formy kwadratowej bądź dwuliniowej symetrycznej.

Twierdzenie o dodatniej określoności

Forma kwadratowa o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych zapisana w postaci symetrycznej jest dodatnio określona, jeżeli wszystkie minory główne jej macierzy, obliczane po przekątnej od lewego rogu, są dodatnie. Np. macierz

$𝐐=\left[\begin{array}{ccc}{q}_{11}& q_{12}& q_{13}\\ q_{21}& q_{22}& q_{23}\\ q_{31}& q_{32}& q_{33}\end{array}\right]$

będzie dodatnio określona, jeżeli:

$\left|\begin{array}{ccc}{q}_{11}& q_{12}& q_{13}\\ q_{21}& q_{22}& q_{23}\\ q_{31}& q_{32}& q_{33}\end{array}\right|>0,\left|\begin{array}{cc}{q}_{11}& q_{12}\\ q_{21}& q_{22}\end{array}\right|>0,q_{11}>0.$

Twierdzenie powyższe można zastosować do:

• sprawdzenia, czy dana macierz jest dodatnio określona
  • np. stosując do Przykładów 1, 2 – poniżej widać natychmiast, że macierz P jest określona dodatnio, a macierz N – nie,
• nałożenia warunków, ograniczających możliwe rozwiązania (np. L. Landau, J. Lifszyc, Teoria pola, s. 286).

Przykłady

Poniższe przykłady pokazują, że znaki elementów macierzy nie mają bezpośredniego związku z określonością macierzy.

Przykład 1. Macierz rzeczywista, symetryczna, dodatnio określona

$𝐏=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]$

Dowód: Dla dowolnej macierzy kolumnowej $X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ jest

$\begin{array}{c}\\ 𝐗𝐏{𝐗}^T& =\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}2x-y& -x+2y-z& -y+2z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]\\ & =\begin{array}{c}2x^2-xy-xy+2y^2-yz-yz+2z^2.\end{array}\end{array}$

Oznacza to, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa $P$ ma wzór

$P(𝐱)=2x^2-2xy+2y^2-2yz+2z^2=x^2+(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+z^2,$

gdzie $𝐱=(x,y,z).$ Widać stąd, że forma $P(𝐱)$ jest nieujemna, gdyż dana jest jako suma kwadratów, a ta nie jest nigdy mniejsza od zera. Ponadto forma ta jest niezdegenerowana, gdyż zeruje się tylko, gdy $𝐱=\mathrm{𝟎}.$ Forma $P(𝐱)$ jest więc dodatnio określona, cnd.

Uwaga:

Dodatnią określoność łatwo stwierdzić, licząc minory główne (por. Twierdzenie powyżej lub Kryterium Sylvestera).

Przykład 2. Macierz rzeczywista, symetryczna, określona niedodatnio

$𝐍=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& -2& 0\\ 1& 0& -2\end{array}\right].$

Dowód: Wykonując obliczenia jak w Przykładzie 1 łatwo przekonać się, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa $N$ ma postać

$N(𝐱)=-x^2-2xy+2xz-2y^2-2z^2=-(x+y-z{)}^2-(y+z{)}^2,$

gdzie $𝐱=(x,y,z).$ Z postaci formy widać, że jest niedodatnia i przyjmuje zero wyłącznie dla $𝐱=(-2t,t,-t),$ gdzie $t\in ℝ.$ Dlatego forma $N(𝐱)$ jest niedodatnio określona, cnd.

Uwaga, przekształcenie wzoru formy kwadratowej, do postaci sumy bądź różnicy kwadratów, nie jest najprostszym sposobem badania określoności formy, w wielu przypadkach może okazać się pomocne Kryterium Sylvestera.

Przykład 3. Macierz rzeczywista, symetryczna, nieokreślona

$𝐐=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 3& -2& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right].$

Dowód: Można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że macierzy $𝐐$ odpowiada forma kwadratowa

$Q(𝐱)=x^2-2y^2+z^2+6xy-4xz,$

gdzie $𝐱=(x,y,z),$

Forma ta jest nieokreślona, gdyż

• przyjmuje wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, np.:
  1. jeśli $𝐱=(0,1,1),$ to $Q(𝐱)=-1,$
  2. jeśli $𝐱=(2,1,0),$ to $Q(𝐱)=14,$
• jest niezdegenerowana, tj. dla wszystkich $𝐱\ne \mathrm{𝟎}$ jest $Q(𝐱)\ne 0.$

Przykład 4. Macierz jednostkowa w przestrzeni rzeczywistej lub zespolonej – jest dodatnio określona.

(1) Macierz jednostkowa $I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ jest określona dodatnio. Jeśli jest to macierz formy określonej na przestrzeni rzeczywistej, to dla dowolnych wektorów mamy

$X^{\mathsf{\text{T}}}IX=\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x^2+y^2.$

(2) Jeśli jest to macierz formy określonej na przestrzeni zespolonej, to dla dowolnego wektora zespolonego mamy

$X^{\mathrm{H}}IX=\left[\begin{array}{cc}{x}^{*}& y^{*}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x^{*}x+y^{*}y=|x{|}^2+|y{|}^2.$

Ponieważ wektor jest niezerowy, to $x$ albo $y$ musi być niezerowe, więc macierz jest dodatnio określona.

Twierdzenia

(1) Wszystkie formy dodatnio/ujemnie określone na tej samej przestrzeni wymiaru $n$ są równoważne formie kwadratowej diagonalnej, składającej się z sumy $n$ kwadratów.

(2) Określoność formy nie zależy od wyboru współrzędnych (choć postać formy zależy od wyboru współrzędnych). Oznacza to, że wszystkie wartości własne dodatnio określonej formy są dodatnie.

(3) Wynika stąd, że formy/macierze dodatnio określone są:

• nieosobliwe, tzn. mają niezerowy wyznacznik (będący iloczynem wszystkich wartości własnych),
• a zatem odwracalne,
• ponadto forma/macierz odwrotna do danej też jest dodatnio określona,
• suma form/macierzy dodatnio określonych także jest dodatnio określona.

(4) Analogiczne twierdzenia są słuszne dla macierzy ujemnie określonych.

(5) Ponadto słuszne są twierdzenia:

• symetryczna macierz dodatnio określona $𝐀$ ma rozkład Choleskiego, tzn. istnieje macierz odwracalna $𝐋,$ dla której $𝐀={𝐋𝐋}^{\mathrm{T}}$ (symetria i dodatnia określoność – to warunki konieczne i dostateczne),
• dla nieosobliwej/odwracalnej macierzy rzeczywistej $𝐀$ iloczyny ${𝐀}^{\mathrm{T}}𝐀$ oraz ${𝐀𝐀}^{\mathrm{T}}$ są dodatnio określone,
• wynika stąd, że dodatnio określona jest forma/macierz jednostkowa,
• wszystkie wartości własne formy/macierzy zerowej są równe zeru, dlatego jest ona jednocześnie określona nieujemnie i niedodatnio – jest to jedyna forma/macierz o tej własności.

Zobacz też

• forma kwadratowa
• kryterium Sylvestera określoności form kwadratowych
• twierdzenie Sylvestera o bezwładności form kwadratowych

Zastosowania

• rozmaitość pseudoriemannowska
• rozmaitość riemannowska
• tensor metryczny

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979, s. 123–138.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, s. 73–77.

Szablon:Formy na przestrzeniach liniowych Szablon:Macierz