Kryterium Sylvestera

Kryterium Sylvestera – kryterium pozwalające badać dodatnią (lub ujemną) określoność symetrycznej macierzy. Nazwa pochodzi od brytyjskiego matematyka J. J. Sylvestera.

Niech

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}]

będzie macierzą symetryczną o współczynnikach rzeczywistych.

Niech ponadto

M_{1} = a_{11},

M_{2} = \det [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}], . . .

M_{l} = \det [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 l} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 l} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{l 1} & a_{l 2} & \dots & a_{l l} \end{matrix}]

Wówczas

$A$ jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wiodące minory główne są dodatnie, tj.

M_{1} > 0, M_{2} > 0, . . . M_{n} > 0

czyli

M_{l} > 0

dla

l \in {1, \dots, n},

$A$ jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy

M_{1} < 0, M_{2} > 0, M_{3} < 0, M_{4} > 0, . . .

czyli

M_{l} < 0

dla

l \in {1, 3, 5, \dots}

(dla nieparzystych),

M_{l} > 0

dla

l \in {2, 4, 6, \dots}

(dla parzystych),

A = [\begin{matrix} + \\ + \\ + \\ ⋱ \end{matrix}] \Rightarrow A -- dodatnio określona,

A = [\begin{matrix} - \\ + \\ - \\ ⋱ \end{matrix}] \Rightarrow A -- ujemnie określona,

gdzie na przekątnej zaznaczono znaki minorów głównych (,,narożnikowych”) $M_{l}, l = 1, 2, \dots, n .$

Jeśli macierz $A$ traktować jako macierz formy kwadratowej

f (x) = \sum_{j, k = 1}^{n} a_{j k} x_{j} x_{k}, a_{j k} = a_{k j},

to forma ta jest dodatnio (ujemnie) określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest dodatnio (ujemnie) określona.

Bibliografia