Minor

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Dopracować Minor – wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

Przykład

Niech dana będzie macierz

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 2\\ 0& 3& 1& 1\\ 7& 1& 3& 4\end{array}\right]$

typu $3\times 4$ nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru $I=\{1,3\}$ oraz kolumn o indeksach ze zbioru $J=\{1,4\}$ otrzymuje się minor równy

$\left|\begin{array}{cccc}1& ◻& ◻& 2\\ ◻& ◻& ◻& ◻\\ 7& ◻& ◻& 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 4\end{array}\right|=1\cdot 4-2\cdot 7=4-14=-10.$

Powyższy minor nie jest główny, ponieważ $I\ne J.$ Minorem głównym macierzy $A$ jest na przykład minor

$\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=8$

utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach $2$ oraz $3.$

Wiodącymi minorami głównymi macierzy $A$ są (w rosnącym porządku stopni):

$\left|\begin{array}{c}1\end{array}\right|=1,\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 3\end{array}\right|=3,\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& 3& 1\\ 7& 1& 3\end{array}\right|=-55.$

Definicja

Dla danej macierzy $A$ typu $m\times n$ minorem stopnia $k,$ gdzie $k⩽\min (m,n)$ nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia $k$ otrzymanej z macierzy $A$ poprzez wykreślenie $m-k$ wierszy i $n-k$ kolumn.

Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów $I$ wierszy o długości $k$ oraz podciągu indeksów $J$ kolumn o długości $k$ z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego $\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}.$ Tak wybrany zbiór indeksów $I=\{i_1,\dots ,i_k\}\times \{j_1,\dots ,j_k\}$ służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy $A(I\times J).$

Jeżeli $I=J$ mają po $k$ elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich $k$ w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia $k.$ Minor główny stopnia $k,$ z którego wykreślono ostatnie $m-k$ wierszy i $n-k$ kolumn, a więc tak, by $I=J=\{1,2,\dots ,k\},$ nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia $k.$

Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.

Niekiedy minory macierzy oznacza się: $(A_i),$ $(A^a),$ $(A_i{A}_j)=-(A_j{A}_i),$ $(A^a{A}^b)=-(A^b{A}^a),$ $(A_i{A}_j{A}_k),$ $(A^a{A}^b{A}^c),$ itd., gdzie $(A_i)$ są kolumnami, $(A^a)$ wierszami macierzy $(A_i^a),$ a $(A_i{A}_j)$ jest iloczynem mieszanym.

Własności

• Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie $1,1.$
• Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu $r>0$ nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia $r,$ zaś każdy minor stopnia wyższego od $r$ tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
• Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna) $A$ jest
  • dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
  • ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
• Dla danej macierzy $m\times n$ można wybrać $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})$ minorów stopnia $k$ (gdzie $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\cdot }{\cdot })$ oznacza symbol Newtona).
• Macierz typu $m\times n$ ma $\min (m,n)$ wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia $n$ ma ich dokładnie $n.$

Zobacz też

• dopełnienie algebraiczne
• rozwinięcie Laplace’a