Rozwinięcie Laplace’a

Rozwinięcie Laplace’a – wzór rekurencyjny określający wyznacznik $n$-tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach $n\times n.$ Nazwa wzoru pochodzi od francuskiego matematyka Laplace’a.

Niech $A\in M_{n\times n}(K).$ Wówczas:

• dla każdego ustalonego $j=1\dots n$ zachodzi $\det A=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij},$
• dla każdego ustalonego $i=1\dots n$ zachodzi $\det A=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij},$

gdzie:

$a_{ij}$ jest elementem macierzy w $i$-tym wierszu i $j$-tej kolumnie,

$A_{ij}$ jest dopełnieniem algebraicznym elementu $a_{ij}.$

Powyższe wzory nazywamy rozwinięciami Laplace’a, pierwszy względem $j$-tej kolumny, a drugi względem $i$-tego wiersza.

Przykład

Przy obliczaniu wyznacznika korzystamy z twierdzenia Laplace’a tak długo, aż uzyskamy macierze, których wyznaczniki można obliczyć wprost (drugiego, trzeciego stopnia). Dobrze jest przy tym skorzystać z faktu, iż dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny lub kombinacji liniowej tychże nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem wyzerować jak najwięcej elementów pewnego wiersza/kolumny.

Obliczmy wyznacznik następującej macierzy czwartego stopnia:

$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 7\\ 1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ -1& 1& -1& 1\end{array}\right].$

Wygenerujmy jak najwięcej zer w ostatnim wierszu (z wyjątkiem np. ostatniego wyrazu): dodajmy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmijmy ją od drugiej:

$\det A=\left|\begin{array}{cccc}0+7& 1-7& 2+7& 7\\ 1+4& 2-4& 3+4& 4\\ 5+8& 6-8& 7+8& 8\\ -1+1& 1-1& -1+1& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}7& -6& 9& 7\\ 5& -2& 7& 4\\ 13& -2& 15& 8\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right|.$

Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia. Stosując rozwinięcie Laplace’a względem czwartego wiersza (pamiętać należy o znakach wyliczanych minorów) dostaniemy:

$\det A=(-1{)}^{4+1}\cdot 0\cdot \left|\begin{array}{ccc}-6& 9& 7\\ -2& 7& 4\\ -2& 15& 8\end{array}\right|+(-1{)}^{4+2}\cdot 0\cdot \left|\begin{array}{ccc}7& 9& 7\\ 5& 7& 4\\ 13& 15& 8\end{array}\right|+(-1{)}^{4+3}\cdot 0\cdot \left|\begin{array}{ccc}7& -6& 7\\ 5& -2& 4\\ 13& -2& 8\end{array}\right|+(-1{)}^{4+4}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{ccc}7& -6& 9\\ 5& -2& 7\\ 13& -2& 15\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}7& -6& 9\\ 5& -2& 7\\ 13& -2& 15\end{array}\right|.$

Zredukujmy raz jeszcze współczynniki macierzy kolumnowo – odejmijmy pierwszą od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:

$\det A=1\cdot \left|\begin{array}{ccc}7& -6& 9\\ 5& -2& 7\\ 13& -2& 15\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}7& -6& 2\\ 5& -2& 2\\ 13& -2& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}7& -4& 2\\ 5& 0& 2\\ 13& 0& 2\end{array}\right|.$

Ponownie korzystamy z rozwinięcia Laplace’a, tym razem względem drugiej kolumny:

$\det A=(-1{)}^{1+2}\cdot (-4)\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 2\\ 13& 2\end{array}\right|=4\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 2\\ 13& 2\end{array}\right|.$

Z kolei zredukujemy współczynniki w ostatnim wierszu, odejmując pierwszy wiersz od drugiego:

$\det A=4\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 2\\ 13& 2\end{array}\right|=4\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 2\\ 8& 0\end{array}\right|.$

i po raz ostatni korzystamy z twierdzenia, tym razem rozwijając względem drugiego wiersza:

$\det A=4\cdot (-1{)}^{2+1}\cdot 8\cdot \left|\begin{array}{c}2\end{array}\right|=4\cdot (-1)\cdot 8\cdot 2=-64.$

Zobacz też

• macierz
• operator liniowy
• wyznacznik