Przestrzeń ortogonalna

Przestrzeń ortogonalna – skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa $V$ nad ciałem $K$ wraz z określonym symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym

$\xi :V\times V\to K.$

Funkcjonał $\xi$ nazywany jest uogólnionym iloczynem skalarnym w przestrzeni ortogonalnej $V.$

Przykład

Funkcjonał dwuliniowy

$\xi :{ℝ}^3\times {ℝ}^3\to ℝ,$

który w bazie kanonicznej ma macierz

$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 4& 3& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right],$

jest uogólnionym iloczynem skalarnym w przestrzeni ${ℝ}^3.$ Funkcjonał ten można zapisać w jawnej postaci

$\xi (\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right])=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 4& 3& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]=x_1{y}_1+4x_2{y}_1+4x_1{y}_2+x_1{y}_3+x_3{y}_1+3x_2{y}_2+2x_3{y}_3.$

Zobacz też

• przestrzeń Kreina
• przestrzeń unitarna
• twierdzenie o bezwładności form kwadratowych

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę