Macierz antyhermitowska

Macierz antyhermitowska – macierz kwadratowa $A$ o elementach zespolonych $a_{i,j},$ w której elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są wzajemnie zminusowanym sprzężeniem:

$a_{i,j}=-\overline{a_{j,i}}.$

Symbolicznie można to zapisać jako:

$A^{†}=-A,$

gdzie $†$ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzySzablon:OdnSzablon:Odn.

Macierze antyhermitowskie można traktować jako zespolony odpowiednik rzeczywistych macierzy antysymetrycznych lub jako macierzowy odpowiednik liczb urojonych (wraz z zerem)Szablon:Odn.

Macierze antyhermitowskie wymiaru $n\times n$ tworzą algebrę Liego $u(n),$ która generuje grupę Liego $U(n)$ macierzy unitarnych.

Macierze antyhermitowskie o śladzie równym 0 wymiaru $n\times n$ tworzą algebrę Liego $su(n),$ która generuje grupę Liego $U(n)$ specjalnych macierzy unitarnych (tj. macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1).

Pojęcie może zostać uogólnione na przekształcenia liniowe zespolonej przestrzeni wektorowej z normą półtoraliniową.

Przykłady

• $\left[\begin{array}{cc}0& 2+i\\ -(2-i)& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-i& 2+i\\ -(2-i)& 0\end{array}\right]$

• Macierze Pauliego mnożone przez jednostkę urojoną $i,$ tj.

$i{\sigma }_1=i\left[\begin{array}{ccc}0& & 1\\ 1& & 0\end{array}\right],$ $i{\sigma }_2=i\left[\begin{array}{ccc}0& & -i\\ i& & 0\end{array}\right],$ $i{\sigma }_3=i\left[\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & -1\end{array}\right].$

Twierdzenia

• Wartości własne macierzy antyhermitowskiej są zerami lub liczbami urojonymi.
• Macierze antyhermitowskie są macierzami normalnymi, stąd są one diagonalizowalne, a ich wektory własne dla różnych wartości własnych muszą być prostopadłeSzablon:OdnSzablon:Odn.
• Elementy głównej przekątnej macierzy antyhermitowskiej są zerami lub liczbami urojonymiSzablon:Odn.
• Jeżeli $A,B$ są macierzami antyhermitowskimi, to $aA+bB$ jest macierzą antyhermitowską dla wszystkich skalarów $a,b$ rzeczywistychSzablon:Odn.
• Jeżeli $A$ jest macierzą antyhermitowską, to zarówno macierze $iA$ oraz $-iA$ są hermitowskieSzablon:Odn.
• Jeżeli $A$ jest macierzą antyhermitowską, to dla liczby parzystej $k$ macierz $A^k$ jest hermitowska, a dla liczby nieparzystej $k$ macierz $A^k$ jest antyhermitowska.

• Macierz $(A+A^{†})$ jest hermitowska.
• Macierz $(A-A^{†})$ jest antyhermitowska.

Wynika stąd, że:

• komutator macierzy hermitowskiej jest macierzą antyhermitowską, tj. ${[A,B]}^{†}=-[A,B],$

• dowolną (kwadratową) macierz $C$ można jednoznacznie zapisać jako sumę macierzy hermitowskiej $A$ i macierzy antyhermitowskiej $B$Szablon:Odn

$C=A+B\text{gdzie}A=\frac{1}{2}(C+C^{†}),B=\frac{1}{2}(C-C^{†})$

• Jeżeli macierz $A$ jest antyhermitowska, to $e^A$ jest macierzą unitarną (por. eksponenta macierzy).
• Przestrzeń macierzy antyhermitowskich wymiaru $n\times n$ tworzy algebrę Liego $u(n)$ grupy macierzy unitarnych $U(n).$
• Przestrzeń macierzy antyhermitowskich wymiaru $n\times n$ bezśladowych (tj. o śladzie równym 0) tworzy algebrę Liego $su(n)$ specjalnej grupy macierzy unitarnych $SU(n).$

Ogólna postać macierzy antyhermitowskiej. Algebry Liego

Macierze antyhermitowskie wymiaru $n\times n$ mają na przekątnej liczby urojone lub zera, a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są postaci $a$ oraz $-\bar{a},$ gdzie $\bar{a}$ – liczba sprzężona do liczby $a.$

Macierze hermitowskie wymiaru $n\times n$ mają więc ogólną postać

$\left[\begin{array}{cccc}i{p}_1& a& b& \cdots \\ -\bar{a}& i{p}_2& c& \cdots \\ -\bar{b}& -\bar{c}& i{p}_3& \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right],p_1,p_2,p_3,\dots \in ℝ,a,b,c,\dots \in ℂ$

gdzie:

• $i$ – jednostka urojona,
• $\bar{a},\bar{b},\bar{c},\dots$ – sprzężenia zespolone liczb $a,b,c,\dots$

Macierze te zależą w ogólności od $n^2$ parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową $n^2$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru $n\times n$ zależą od $n^2-1$ parametrów (warunek $Tr(A)=0$ daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego $su(n).$ Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.

Macierze antyhermitowskie 2 × 2

– mają ogólną postać

$\left[\begin{array}{cc}i{p}_1& a\\ -\bar{a}& i{p}_2\end{array}\right],p_1,p_2\in ℝ,a\in ℂ.$

Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów $\mathrm{r}\mathrm{e}a,\mathrm{i}\mathrm{m}a,p_1,p_2$ i tworzą przestrzeń wektorową 4-wymiarową.

Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń $2^2-1=3$ – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego mnożone przez jednostkę urojoną $i..$

Macierze antyhermitowskie 3 × 3

– mają ogólną postać

$\left[\begin{array}{ccc}i{p}_1& a& b\\ -\bar{a}& i{p}_2& c\\ -\bar{b}& -\bar{c}& i{p}_3\end{array}\right],p_1,p_2,p_3\in ℝ,a,b,c\in ℂ.$

Macierze te zależą w ogólności od $3^2=9$ parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb $a,b,c$) i tworzą przestrzeń wektorową $9$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru $3\times 3$ zależą od $3^2-1=8$ parametrów i tworzą podprzestrzeń $8$ -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna mnożone przez jednostkę urojoną $i.$

Zobacz też

• macierz hermitowska
• specjalna grupa unitarna SU(n)

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę