Diagonalizacja endomorfizmu

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Diagonalizacja endomorfizmu f skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V – proces znajdowania bazy B przestrzeni V, w której macierz Mf(B) jest diagonalna.

Endomorfizm nazywamy diagonalizowalnym, jeśli taka baza istnieje.

Wektory własne

Niech dim⁡V=n<∞. Endomorfizm f:V⟶V jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza B przestrzeni V złożona z wektorów własnych tego endomorfizmu.

Dowód

Diagonalizowalność endomorfizmu f jest równoważna istnieniu w przestrzeni V „diagonalnej” bazy B={v1,v2,…,vn}, dla której

Mf(B)=[λ10…00λ2…0⋮⋮…⋮00…λn].

Ponieważ w tej bazie i-ta kolumna macierzy endomorfizmu jest układem współrzędnych wektora f(vi) w bazie B={v1,v2,…,vn}, tzn.

f(vi)=0⋅v1+0⋅v2+…+0⋅vi−1+λivi+0⋅vi+1+…+0⋅vn= λivi,

więc wszystkie wektory v1,v2,…,vn są wektorami własnymi endomorfizmu f ◼.

Wniosek

Jeżeli f jest endomorfizmem diagonalizowalnym i D=Mf(B) jest macierzą diagonalną, to baza B składa się z wektorów własnych endomorfizmu f, a przekątna macierzy D składa się z (niekoniecznie różnych) wartości własnych endomorfizmu f (z zachowaniem odpowiedniej kolejności).

Warunek wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmu

Niech dim⁡V=n. Warunkiem wystarczającym na diagonalizowalność endomorfizmu f:V⟶V jest, aby wielomian charakterystyczny endomorfizmu f miał n różnych wartości własnych.

Uwaga:

Jeżeli λ0 jest wartością własną endomorfizmu f o krotności k0 (jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego), to dla podprzestrzeni V0 odpowiadającej wartości własnej λ0:

1⩽dim⁡V0⩽k0.

Liczbą k0 nazywamy wówczas krotnością algebraiczną, a liczbę dim⁡V0 nazywamy krotnością geometryczną wartości własnej λ0.

Warunek konieczny i wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmu

Niech dim⁡V=n. Endomorfizm f:V⟶V jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy:

  • wielomian charakterystyczny endomorfizmu f ma postać Δ(λ)=(λ1−λ)k1⋅(λ2−λ)k2⋅…⋅(λp−λ)kp,
gdzie k1+k2+…+kp=n oraz λi≠λj dla i,j∈{1,2,…,p}, i≠j,
  • V=V1⊕V2⊕…⊕Vp,
gdzie Vi<V jest podprzestrzenią przestrzeni V odpowiadającą wartości własnej λi oraz dim⁡Vi=ki.

Przykład

Diagonalizacja endomorfizmu f:ℝ3∋(x1,x2,x3)⟶(−x1−3x3,3x1+2x2+3x3,−3x1−x3)∈ℝ3:

Niech B będzie bazą kanoniczną w ℝ3

A=Mf(B)=[−10−3323−30−1].

Niech Δ(λ) będzie wielomianem charakterystycznym macierzy A

Δ(λ)=|−1−λ0−332−λ3−30−1−λ|=−(λ−2)2⋅(λ+4).

Wówczas

λ1=2,  k1=2,
λ2=−4,  k2=1.

Konstrukcja przestrzeni własnej V1 odpowiadającej wartości własnej λ1=2:

[−30−3303−30−3]⋅[x1x2x3]=[000]  ⇔ −3x1−3x3=0 ⇔ x1=−x3.

Stąd

V1={(−α,β,α):α,β∈ℝ}={α(−1,0,1)+β(0,1,0):α,β∈ℝ}=Lin⁡{(−1,0,1),(0,1,0)}.

Wektory (−1,0,1),(0,1,0) są oczywiście liniowo niezależne i stanowią bazę B1 przestrzeni V1.

Konstrukcja przestrzeni własnej V2 odpowiadającej wartości własnej λ2=−4:

[30−3363−303]⋅[x1x2x3]=[000]  ⇔ 3x1−3x3=0 ∧ 3x1+6x2+3x3=0⇔ x1=x3 ∧ x1=−x2.

Stąd

V2={(α,−α,α):α∈ℝ}={α(1,−1,1)):α∈ℝ}=Lin⁡{(1,−1,1)}.

Wektor (1,−1,1) jest bazą B2 przestrzeni V2.

Ostatecznie

  • dim⁡V1=2=k1,
  • dim⁡V2=1=k2,

więc f jest endomorfizmem diagonalizowalnym.

Bibliografia

Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Diagonalizacja_endomorfizmu&oldid=7420”