Dylatacja

Szablon:Inne znaczenia Dylatacja – przekształcenie geometryczne, przeprowadzające dowolną prostą na prostą do niej równoległą. Inaczej mówiąc, jest to kolineacja, w której każda prosta jest równoległa do swojego obrazu^[1].

Własności

Dwa dane odcinki $A B$ i $A^{'} B^{'},$ leżące na prostych równoległych, określają dokładnie jedną dylatację $A B \to A^{'} B^{'},$ dla której obrazem punktu $A$ jest punkt $A^{'},$ a obrazem punktu $B$ jest punkt $B^{'}$ ^[2].
Odwrotność dylatacji $A B \to A^{'} B^{'}$ jest dylatacją $A^{'} B^{'} \to A B$ ^[3].
Dylatacja $A B \to A B$ jest przekształceniem tożsamościowym (czyli identycznością). Dylatacja $A B \to B A$ jest półobrotem, czyli symetrią środkową (dokoła środka odcinka AB). Jeżeli czworokąt $A B B^{'} A^{'}$ jest równoległobokiem, to dylatacja $A B \to A^{'} B^{'}$ jest translacją (czyli przesunięciem równoległym)^[3].
Jeżeli dylatacja ma punkt stały, to obrazem prostej przechodzącej przez ten punkt jest ta sama prosta.
Każda dylatacja, która nie jest przesunięciem równoległym ma punkt stały, a jeśli nie jest identycznością, to jest to jedyny jej punkt stały^[3].
Jeżeli punkt $P$ i jego obraz dylatacyjny $P^{'}$ nie pokrywają się (tzn. $P$ nie jest stały), to obrazem prostej $P P^{'}$ jest ona sama.
Jeżeli dwie proste pokrywają się ze swoimi obrazami, to ich przecięcie (o ile istnieje) jest punktem stałym.

Z własności tych wynika klasyfikacja dylatacji ze względu na liczbę punktów stałych:

Zbiór dylatacji jest grupą ze względu na ich składanie i podgrupą grupy podobieństw parzystych.

Niezmiennik definiujący grupę dylatacji:

Ważniejsze niezmienniki dylatacji: