Grupa trywialna

Grupa trywialna – grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami.

Przykłady

Istnieje wiele tak scharakteryzowanych grup, np.:

• grupa addytywna ${\mathbb{Z}}_1=\{0\}$ z działaniem dodawania modulo $1,$
• grupa multiplikatywna ${\mathbb{Z}}_2^{\times }=\{1\}$ z działaniem mnożenia modulo $2$ (zob. arytmetyka modularna),
• grupa pierwiastków z jedynki ${ℂ}_1=\{1\}$ nad ciałem liczb zespolonych,
• grupa permutacji $S_1=\{\mathrm{i}\mathrm{d}\}$ zbioru jednoelementowego;

wszystkie one mają tę samą strukturę, tzn. są izomorficzne.

Dzieje się tak również dlatego, że w dowolnym zbiorze jednoelementowym $E=\{e\}$ można wprowadzić jedno i tylko jedno działanie dwuargumentowe $\mathrm{♡},$ które uczyniłoby z niego grupę. Wówczas wzór

$e\mathrm{♡}e=e$

opisuje wszystkie w niej zależności; w szczególności, iż $e$ pełni rolę elementu neutralnego oraz odwrotnego względem siebie. W związku z powyższym często utożsamia się wszystkie grupy jednoelementowe oznaczając je wspólnym symbolem, np. $E,$ czy $\mathrm{𝟏}$ (w notacji multiplikatywnej) albo $\mathrm{𝟎}$ (w notacji addytywnej).

Własności

Każda grupa trywialna jest cykliczna, gdyż jest generowana przez element neutralny (przyjmuje się również, że generuje ją także zbiór pusty). Jako taka jest ona zatem: przemienna (abelowa), a ponadto doskonała, pełna, nilpotentna oraz rozwiązalna; dodatkowo jest to jedyna grupa jednocześnie torsyjna i beztorsyjna, przyjmuje się również, że ma zerową rangę.

W dowolnej grupie można wyróżnić jedną i tylko jedną podgrupę, która sama w sobie jest grupą trywialną: składa się ona z jej elementu neutralnego i nazywa podgrupą trywialną tej grupy.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-09-05].

Szablon:Teoria grup