Grupa nilpotentna

Szablon:Spis treści Grupa nilpotentna – grupa „prawie” abelowa. Grupy nilpotentne pojawiają się w teorii Galois, a także w zagadnieniach związanych z klasyfikacją grup, również grup Liego.

Definicja

Grupę $G$ nazywamy nilpotentną, jeżeli istnieje ciąg podgrup normalnych ${e} = G_{0} ⩽ G_{1} ⩽ G_{2} \dots ⩽ G_{n} = G,$ że:

$G_{i} ◃ G, i = 0, \dots, n$
grupy ilorazowe $G_{i + 1} / G_{i}$ są podgrupami centrum $Z (G / G_{i})$ dla $i = 0, 1, 2, \dots, n - 1 .$

Jeśli istnieje ciąg o tej własności to nazywamy go ciągiem centralnym grupy $G .$ Najmniejsze $n$ dla którego grupa $G$ jest nilpotentna, nazywamy stopniem nilpotentności i oznaczamy $nil G .$

Uwaga

Następujące warunki są równoważne:

Ciąg ${e} = G_{0} ⩽ G_{1} ⩽ G_{2} \dots ⩽ G_{n} = G$ jest centralny.
Ciąg ${e} = G_{0} ⩽ G_{1} ⩽ G_{2} \dots ⩽ G_{n} = G$ jest normalny oraz $[G_{i + 1}, G] ⩽ G_{i}, i = 0, 1, \dots, n - 1 .$
$[G_{i + 1}, G] ⩽ G_{i}, i = 0, 1, \dots, n - 1 .$

Przykłady

Grupą nilpotentną jest na przykład:

dowolna grupa przemienna,
grupa multiplikatywna macierzy postaci $[\begin{matrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}],$ gdzie $a, b, c$ są elementami pewnego ciała,
grupa kwaternionów $Q_{8},$ ma centrum rzędu 2 $(Z (Q_{8}) = {1, - 1});$ ciąg centralny tej grupy to ${1}, {1, - 1}, Q_{8},$ zatem jest to grupa nilpotentna drugiego stopnia nilpotentności,
każdy produkt prosty skończonej liczby p-grup,
dyskretna grupa Heisenberga.
każda grupa $G$ rzędu $p^{k},$ gdzie $p$ jest liczbą pierwszą jest nilpotentna oraz $nil G ⩽ k .$

Własności

Każda grupa nilpotentna jest rozwiązalna.
Jeżeli komutant grupy $G$ jest zawarty w jej centrum, to grupa jest nilpotentna.
grupy permutacji $S_{n}$ nie są nilpotentne dla $n > 2 .$
Każda podgrupa grupy nilpotentnej klasy $n$ jest grupą nilpotentną klasy co najwyżej $n,$ co więcej to samo dotyczy obrazu homomorficznego grupy nilpotentnej.
Następujące zdania są równoważne dla grup skończonych:
- $G$ jest nilpotentna.
- Jeżeli $H$ jest właściwą podgrupą $G,$ to $H$ jest właściwą podgrupą normalną normalizatora $N (H) .$
- Każda maksymalna podgrupa właściwa $G$ jest normalna.
- G jest sumą prostą swoich podgrup Sylowa.
Ostatnie stwierdzenie może być uogólnione na grupy nieskończone: jeżeli $G$ jest nilpotentna, to każda podgrupa Sylowa $G_{p}$ grupy $G$ jest normalna, a suma prosta tych podgrup Sylowa jest podgrupą wszystkich elementów skończonego rzędu w $G$ (zob. podgrupa torsyjna).
Jeśli grupa $G / Z (G)$ jest nilpotentna stopnia $n,$ to $G$ jest nilpotentna stopnia $n + 1 .$

Zobacz też

grupa

Bibliografia

Szablon:Cytuj książkę
M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1978

Szablon:Teoria grup

Szablon:Kontrola autorytatywna