Ciąg (teoria grup)

Szablon:Spis treści Ciąg – jedno z kilku powiązanych pojęć teorii grup pomocne przy badaniu struktury danej grupy; zwykle przez „ciąg” rozumie się opisany dalej ciąg podnormalny. W ogólności ciągiem podgrup danej grupy nazywa się po prostu łańcuch jej podgrup; ciągi podgrup są przypadkiem szczególnym filtracji znanej z algebry abstrakcyjnej.

Definicje

Szablon:Zobacz też Niech $H⩽G,$ czyli $H$ będzie podgrupą w grupie $G.$ Skończony ciąg podgrup grupy $G,$ włączając w to $H$ oraz $G,$ nazywa się ciągiem (podnormalnym) od $H$ do $G$ (lub między $H$ a $G$), jeżeli każda grupa w ciągu jest podgrupą normalną poprzedniej, tzn.

$H=H_0⊴H_1⊴\dots ⊴H_{n-1}⊴H_n=G(1)$

Podgrupy $H_0,H_1,\dots ,H_{n-1},H_n$ nazywa się wyrazami ciągu $(1).$ Grupy ilorazowe $H_1/H_0,H_2/H_1,\dots ,H_n/H_{n-1}$ nazywa się ilorazami ciągu $(1).$ Ciąg od podgrupy trywialnej $E$ do podgrupy niewłaściwej $G$ nazywa się krótko ciągiem grupy $G.$ Liczbę wyrazów ciągu nazywa się jego długością.

Jeżeli każdy z wyrazów $H_0,H_1,\dots ,H_{n-1},H_n$ ciągu $(1)$ jest normalny w $G,$ to ciąg $(1)$ również nazywa się ciągiem normalnym; zastępując normalność warunkiem charakterystyczności otrzymuje się definicję ciągu charakterystycznego.

W ciągu $(1)$ mogą istnieć powtórzenia; jeżeli jednak $H_{i-1}◃H_i$ dla każdego $i=1,\dots ,n,$ to ciąg $(1)$ nazywa się ciągiem właściwym. Ciąg

$H=J_0⊴J_1⊴\dots ⊴J_{n-1}⊴J_n=G(2)$

od $H$ do $G$ nazywa się zagęszczeniem (lub rozdrobnieniem) ciągu $(1),$ jeżeli każdy wyraz ciągu $(1)$ jest również wyrazem ciągu $(2).$ Rozdrobnienie ciągu $(1)$ otrzymuje się więc z $(1)$ poprzez wstawienie dodatkowych grupy między pewne kolejne wyrazy tego ciągu, przy czym nie muszą być one różne od wyrazów $(1)$. Jeżeli jednak $(2)$ jest zagęszczeniem $(1)$ i przynajmniej jeden z wyrazów $(2)$ nie jest wyrazem $(1),$ to $(2)$ nazywa się zagęszczeniem właściwym ciągu $(1).$

Ciąg kompozycyjny

Ciąg grupy $G$ nazywa się ciągiem kompozycyjnym $G,$ jeżeli jest on ciągiem właściwym $G$ bez zagęszczenia właściwego. Ilorazy ciągu kompozycyjnego $G$ nazywa się krótko ilorazami grupy $G.$ Ciąg

$E=G_0⊴G_1⊴\dots ⊴G_{n-1}⊴G_n=G$

grupy $G$ jest ciągiem kompozycyjnym $G$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ilorazy $G_i/G_{i-1}$ $(i=1,2,\dots ,n)$ są proste.

Równoważność

Niech $G$ będzie grupą. Dwa ciągi

$E=G_0⊴\dots ⊴G_n=G$

oraz

$E=H_0⊴\dots ⊴H_m=G$

grupy $G$ nazywa się równoważnymi, jeżeli $n=m$ oraz ilorazy $G_i/G_{i-1}$ są, w pewnym porządku, izomorficzne do ilorazów $H_j/H_{j-1}$ $(i,j=1,2,\dots ,n).$

Uwaga

W powyższej definicji nie żąda się, by $G_i/G_{i-1}=H_i/H_{i-1}$ dla wszystkich $i=1,2,\dots ,n;$ warunek mówi jedynie, że $G_i/G_{i-1}=H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)-1}$ dla pewnej permutacji $\sigma \in S_n.$ Wprowadza ona ponadto relację równoważności w zbiorze wszystkich ciągów $G.$

Ciągi kompozycyjne grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma choć jeden, o czym mówi twierdzenie Jordana-Höldera; w istocie zachodzi dużo mocniejsze twierdzenie Schreiera zapewniające, że wszystkie ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia.

Ciąg abelowy

Szablon:Osobny artykuł Ciąg

$H=H_0⊴H_1⊴\dots ⊴H_{m-1}⊴H_m=G$

od $H$ do $G$ nazywa się ciągiem abelowym, jeżeli wszystkie jego ilorazy $H_1/H_0,H_2/H_1,\dots ,H_m/H_{m-1}$ są grupami abelowymi (przemiennymi). Grupy, które mają ciąg abelowy, nazywa się rozwiązalnymi.

Ciąg centralny

Szablon:Osobny artykuł Ciąg

$H=H_0⊴H_1⊴\dots ⊴H_{m-1}⊴H_m=G$

od $H$ do $G$ nazywa się ciągiem centralnym, jeżeli wszystkie jego ilorazy $H_1/H_0,H_2/H_1,\dots ,H_m/H_{m-1}$ są podgrupami centralnymi, tzn. $[G,H_{i+1}]⩽H_i$ (dla $i=1,\dots ,m;$ gdzie $[G,K]$ oznacza komutant). Grupy, które mają ciąg centralny, nazywa się nilpotentnymi.

Ponieważ $[G,H_i]⩽H_{i-1}⩽H_i,$ to w szczególności $H_i$ jest normalna w $G;$ dlatego równoważnie warunek centralności można zastąpić wymaganiem, by ilorazy $H_i/H_{i-1}$ były przemienne ze wszystkimi ilorazami $G/H_i$ $(i=1,\dots ,m).$

Przykłady

Literą $E$ oznaczana będzie niżej podgrupa trywialna odpowiedniej grupy.

• $E◃S_3$ jest ciągiem grupy symetrycznej $S_3,$ a $E◃A_3◃S_3$ jest zagęszczeniem (zawierającym grupę alternującą $A_3$), które jest zarazem ciągiem kompozycyjnym $S_3,$ ponieważ ilorazy $A_3/E\simeq A_3(\simeq C_3)$ oraz $S_3/A_3\simeq C_2$ są proste (w pierwszym przypadku: grupa przemienna jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest cykliczna i rzędu będącego liczbą pierwszą; w drugim: z powyższej charakteryzacji). Jest to w istocie jedyny ciąg kompozycyjny tej grupy.
• $E◃V_4◃A_4◃S_4$ jest ciągiem normalnym grupy $S_4.$ Nie jest on jednak ciągiem kompozycyjnym $S_4,$ ponieważ można go zagęścić wstawiając jedną z podgrup $U_1=\{\iota ,(12)(34)\}$ lub $U_2=\{\iota ,(13)(24)\}$ bądź $U_1=\{\iota ,(14)(23)\}$ między $E=\{\iota \}$ a $V_4=\{\iota ,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ (zob. grupa czwórkowa Kleina). Każdy z trzech ciągów $E◃U_i◃V_4◃A_4◃S_4$ jest ciągiem kompozycyjnym $S_4$ $(i=1,2,3),$ przy czym są to wszystkie ciągi kompozycyjne tej grupy.
• Nie każda grupa ma ciąg kompozycyjny, przykładem jest $\mathbb{Z}.$ Istotnie, dowolny ciąg ma postać

$0\mathbb{Z}◃m_1\mathbb{Z}◃m_2\mathbb{Z}◃\dots ◃m_n\mathbb{Z}◃\mathbb{Z}(3)$

gdzie $m_2|m_1,m_3|m_2,\dots ,m_n|m_{n-1}.$ Jeśli $m_0$ jest wielokrotnością $m_1$ oraz $m_0\ne m_1,$ to

$0\mathbb{Z}◃m_0\mathbb{Z}◃m_1\mathbb{Z}◃m_2\mathbb{Z}◃\dots ◃m_n\mathbb{Z}◃\mathbb{Z}$

jest właściwym zagęszczeniem $(3)$ (symbol $0\mathbb{Z}=\left\{\overline{0}\right\}$ oznacza tu podgrupę trywialną). Wówczas dowolny ciąg $\mathbb{Z}$ ma zagęszczenie właściwe. Dlatego żaden ciąg $\mathbb{Z}$ nie może być ciągiem kompozycyjnym tej grupy.

Diagram podzielności liczby 12.

• Niech $⟨a⟩$ będzie grupą cykliczną rzędu 12. Wtedy

$⟨a^{12}⟩◃⟨a^6⟩◃⟨a^2⟩◃⟨a^1⟩,⟨a^{12}⟩◃⟨a^6⟩◃⟨a^3⟩◃⟨a^1⟩,⟨a^{12}⟩◃⟨a^4⟩◃⟨a^2⟩◃⟨a^1⟩$

są ciągami kompozycyjnymi $⟨a^1⟩=⟨a⟩$ (przy czym $⟨a^{12}⟩=\{a^0\}$ jest podgrupą trywialną). Ilorazy kompozycyjne są izomorficzne odpowiednio z $C_2,C_3,C_2;C_2,C_2,C_3;C_3,C_2,C_2.$ Zatem nie biorąc pod uwagę kolejności, ilorazy kompozycyjne powstające z różnych ciągów kompozycyjnych są grupami izomorficznymi – ciągi te są zatem równoważne.

Zobacz też

• grupa rozwiązalna, grupa nilpotentna
• lemat Zassenhausa
• prawo modularności Dedekinda

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę