Lemat Zassenhausa

Szablon:Spis treści Lemat Zassenhausa (także: lemat motyla) – techniczny wynik teorii grup dotyczący kraty podgrup danej grupy, w uogólnieniach również kraty podmodułów ustalonego modułu lub, ogólnie, dowolnej kraty modularnej^[1]. „Motyla” można dojrzeć na diagramie Hassego grup biorących udział w twierdzeniu.

Hans Julius Zassenhaus udowodnił lemat, mając na celu podanie czytelniejszej postaci dowodu twierdzenia Shreiera; można go też uzyskać z ogólniejszego wyniku znanego jako twierdzenie Goursata dla rozmaitości Goursata (których przykładem są grupy), wykorzystując prawo modularności Dedekinda^[2]. Twierdzenie zachodzi w szczególności również dla grup z operatorami: w sformułowaniu wystarczy zamienić podgrupy normalne na podgrupy stabilne.

Lemat

Niech $G$ będzie grupą, a $A$ oraz $C$ jej podgrupami; ponadto niech $B ⊴ A$ oraz $D ⊴ C$ będą podgrupami normalnymi, wówczas

B (A \cap D) ⊴ B (A \cap C) oraz D (B \cap C) ⊴ D (A \cap C)

i ma miejsce izomorfizm

B (A \cap C) / B (A \cap D) ≃ D (A \cap C) / D (B \cap C) .

Dowód

Niech $\hat{U V} : = U \cap V .$ Ponieważ $B ⊴ A,$ to^{[uwaga 1]} $B \cap C ⊴ A \cap C,$ czyli $\hat{B C} ⊴ \hat{A C};$ podobnie dla $C ⊴ D$ jest $\hat{A D} ⊴ \hat{A C} .$ Jako że $\hat{B C} ⊴ \hat{A C}$ oraz $\hat{A D} ⊴ \hat{A C},$ zapisując dla zwięzłości $E = \hat{B C} \hat{A D} = \hat{A D} \hat{B C},$ to zachodzi $E ⊴ \hat{A C}$ (jako iloczyn prosty, zob. iloczyn kompleksowy).

Ponieważ $E ⊴ \hat{A C} ⩽ A$ oraz $B ⊴ A,$ to^{[uwaga 2]}

B E ⊴ B \hat{A C} oraz B \hat{A C} / B E ≃ \hat{A C} / E (B \cap \hat{A C}) . (1)

Teraz $B E = B (\hat{B C} \hat{A D}) = (B \hat{B C}) \hat{A D} = B \hat{A D}$ oraz $E (B \cap \hat{A C}) = E$ (ponieważ $B \cap \hat{A C} = \hat{B C} \subseteq E$ ), a więc z (1) wynika

B \hat{A D} ⊴ B \hat{A C} oraz B \hat{A C} / B \hat{A D} ≃ \hat{A C} / E . (2)

Powtarzając to samo rozumowanie dla $A, B$ zastąpionymi odpowiednio $C, D,$ uzyskuje się

D \hat{B C} ⊴ D \hat{A C} oraz D \hat{A C} / D \hat{B C} ≃ \hat{A C} / E . (3)

Teza wynika z połączenia (2) oraz (3).

Zobacz też

Uwagi

Szablon:Uwagi

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Szablon:Homomorfizmy Szablon:Teoria grup

↑ Zob. Pierce, s. 27, ćw. 1.
↑ Szablon:Cytuj książkę

Błąd rozszerzenia cite: Istnieje znacznik <ref> dla grupy o nazwie „uwaga”, ale nie odnaleziono odpowiedniego znacznika <references group="uwaga"/>

[1] Zob. Pierce, s. 27, ćw. 1.

[2] Szablon:Cytuj książkę

[1]

[2]

[uwaga 1]

[uwaga 2]