Grupa z operatorami

Szablon:Spis treści Grupa z operatorami lub $\mathrm{\Omega }$-grupa – struktura algebraiczna będąca grupą wraz ze zbiorem endomorfizmów grupowych.

Grupy z operatorami były studiowane dogłębnie przez Emmy Noether i jej szkołę w latach 20. XX wieku. Użyła ona tego pojęcia w jej oryginalnym sformułowaniu trzech twierdzeń o izomorfizmie.

Definicja

Grupa z operatorami $(G,\mathrm{\Omega })$ to grupa $G$ z rodziną funkcji $\mathrm{\Omega }:$

$\omega :G\to G,\omega \in \mathrm{\Omega },$

które są rozdzielne względem działania grupowego. $\mathrm{\Omega }$ nazywana jest dziedziną operatorów, a jego elementy nazywane są homotetiami $G.$

Obraz elementu $g$ grupy przy funkcji $\omega$ oznacza się $g^{\omega }.$ Rozdzielność może być wtedy wyrażona jako

${\mathrm{\forall }}_{\omega \in \mathrm{\Omega }}{\mathrm{\forall }}_{g,h\in G}(gh{)}^{\omega }=g^{\omega }{h}^{\omega }.$

Podgrupa $S$ grupy $G$ nazywana jest podgrupą stabilną, $\omega$-podgrupą lub podgrupą $\mathrm{\Omega }$-niezmienniczą, o ile zachowuje homotetie, tj.

${\mathrm{\forall }}_{s\in S}{\mathrm{\forall }}_{\omega \in \mathrm{\Omega }}{s}^{\omega }\in S.$

Uwagi teoriokategoryjne

W teorii kategorii grupa z operatorami może być zdefiniowana jako obiekt kategorii funktorów $𝐆𝐫{𝐩}_{𝐌},$ gdzie $𝐌$ jest monoidem (tzn. kategorią z jednym obiektem), a $𝐆𝐫𝐩$ oznacza kategorię grup. Ta definicja jest równoważna poprzedniej.

Grupa z operatorami jest także odwzorowaniem

$\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{End}}_{𝐆𝐫𝐩}(G),$

gdzie ${\mathrm{End}}_{𝐆𝐫𝐩}(G)$ jest zbiorem endomorfizmów grupowych $G.$

Przykłady

• Dla danej grupy $G$ struktura $(G,\varnothing )$ jest w sposób trywialny grupą z operatorami,
• Dla danego $R$-modułu $M$ grupa $R$ działa na dziedzinie operatorów $M$ przez mnożenie przez skalar. Dokładniej: każda przestrzeń liniowa jest grupą z operatorami.

Zobacz też

• działanie grupy

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę