Lemat Goursata

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Spis treści Lemat Goursata – twierdzenie teorii grup charakteryzujące podgrupy iloczynu prostego dwóch grup.

Pierwszy raz pojawiło się ono w pracy Édouarda Goursata pt. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace („O podstawieniach ortogonalnych i podziałach regularnych przestrzeni”) z 1889 roku^[1]. W osobnej sekcji pokazane zostanie, w jaki sposób można udowodnić za jego pomocą lemat Zassenhausa.

Wprowadzenie

W teorii grup dostępne są trzy standardowe sposoby konstruowania nowych grup z istniejących:

wzięcie podgrupy $H$ danej grupy $G,$
wzięcie ilorazu $G / H$ (gdzie $H$ jest podgrupą normalną) oraz
wzięcie iloczynu prostego $G_{1} \times G_{2}$ dwóch grup $G_{1}$ oraz $G_{2} .$

Dla każdej z tych konstrukcji można zapytać: jak wyglądają podgrupy uzyskanej grupy? W dwóch pierwszych przypadkach odpowiedź jest prosta: podgrupa $L$ w $H$ jest po prostu podgrupą $L$ w $G$ zawartą w $H$ (podgrupą podgrupy jest podgrupą), a z wniosku z twierdzenia o odpowiedniości wynika, że podgrupy $G / H$ mają postać $J / H,$ gdzie $J$ jest podgrupą w $G,$ dla której $H \subseteq J \subseteq G$ (co więcej, $J / H ⊴ G / H$ wtedy i tylko wtedy, gdy $J ⊴ G$ ). Odpowiedź na trzecie pytanie jest nieco bardziej złożona i jest treścią niniejszego artykułu: mając dane grupy $G_{1}$ oraz $G_{2}$ znaleźć wszystkie podgrupy (normalne) w $G_{1} \times G_{2} .$

Iloczyn prosty $G_{1} \times G_{2}$ danych grup $G_{1}$ i $G_{2}$ to grupa, której nośnikiem są pary uporządkowane ${(g_{1}, g_{2}) : g_{i} \in G_{i}}$ z mnożeniem określonym po współrzędnych: $(g_{1}, g_{2}) (h_{1}, h_{2}) = (g_{1} h_{1}, g_{2} h_{2});$ elementem neutralnym jest $(e_{1}, e_{2}),$ a element odwrotny to $(g_{1}, g_{2})^{- 1} = (g_{1}^{- 1}, g_{2}^{- 1}) .$ Jeśli $H_{i}$ jest podgrupą w $G_{i},$ to $H_{1} \times H_{2}$ jest podgrupą w $G_{1} \times G_{2}$ ^{[uwaga 1]} nazywaną dalej podiloczynem; więcej $H_{1} \times H_{2}$ jest normalna w $G_{1} \times G_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda $H_{i} ⊴ G_{i}$ ^{[uwaga 2]}.

Jako wprowadzenie przedstawione zostanie rozwiązanie następującego problemu:

które pary grup

G_{1}

i

G_{2}

mają tę właściwość, że każda podgrupa (normalna) w

G_{1} \times G_{2}

jest podiloczynem w

G_{1} \times G_{2}

?

Odpowiedź daje następujące

Stwierdzenie: Niech $G_{1}$ oraz $G_{2}$ będą nietrywialnymi grupami. Każda podgrupa w $G_{1} \times G_{2}$ jest jej podiloczynem wtedy i tylko wtedy, gdy $g_{i} \in G_{i}$ mają skończone, względnie pierwsze rzędy^{[uwaga 3]}.

wykorzystujące poniższy

Lemat: Niech $G_{1}$ oraz $G_{2}$ będą nietrywialnymi grupami. Wówczas $G_{1} \times G_{2}$ jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy $G_{1}$ i $G_{2}$ są skończonymi grupami cyklicznymi o względnie pierwszych rzędach^{[uwaga 4]}.

Twierdzenie

Niech $G_{1}, G_{2}$ będą grupami.

Niech $H$ będzie podgrupą w $G_{1} \times G_{2} .$ Niech $H_{11} = {a \in G_{1} : (a, e_{2}) \in H},$ $H_{21} = {b \in G_{2} : (e_{1}, b) \in H}$ oraz $H_{12} = {a \in G_{1} : (a, b) \in H dla pewnego b \in G_{2}},$ $H_{22} = {b \in G_{2} : (a, b) \in H dla pewnego a \in G_{1}} .$
Wówczas $H_{i 1} \subseteq H_{i 2}$ są podgrupami w $G_{i},$ dla których $H_{i 1} ⊴ H_{i 2},$ a odwzorowanie $φ_{H} : H_{12} / H_{11} \to H_{22} / H_{21}$ dane wzorem $φ_{H} (a H_{11}) = b H_{21},$ gdzie $(a, b) \in H,$ jest izomorfizmem.

Co więcej: jeśli $H ⊴ G_{1} \times G_{2},$ to $H_{i 1}, H_{i 2} ◃ G_{i}$ oraz $H_{i 2} / H_{i 1} \subseteq Z (G_{i} / H_{i 1}),$ centrum $G_{i} / H_{i 1} .$
Niech $H_{i 1} ⊴ H_{i 2}$ będą podgrupami w $G_{i}$ i niech $φ : H_{12} / H_{11} \to H_{22} / H_{21}$ będzie izomorfizmem.
Wówczas $H = {(a, b) \in H_{12} \times H_{22} : φ (a H_{11}) = b H_{21}}$ jest podgrupą $G_{1} \times G_{2} .$

Zakładając ponadto $H_{i 1}, H_{i 2} ⊴ G$ oraz $H_{i 2} / H_{i 1} \subseteq Z (G_{i} / H_{i 1})$ otrzymuje się $H ⊴ G_{1} \times G_{2} .$
Konstrukcje podane w 1. i 2. są wzajemnie odwrotne.

Wnioski

W literaturze^[2] spotyka się również następujące sformułowanie lematu Goursata:

Niech

H

będzie podgrupą w

G_{1} \times G_{2}

z kanonicznymi rzutami

π_{i} : H \to G_{i}

o jądrach

N_{i},

dzięki którym można utożsamić

N_{i}

z podgrupą normalną w

G_{i} .

Wówczas obraz

H

w

G_{1} / N_{1} \times G_{2} / N_{2}

jest wykresem izomorfizmu

G_{1} / N_{1} ≃ G_{2} / N_{2} .

Lemat Zassenhausa

Szablon:Zobacz też

Niech $G$ będzie grupą, a $B ⊴ A$ oraz $D ⊴ C$ będą jej podgrupami. Wówczas $B (A \cap D) ⊴ B (A \cap C),$ $D (B \cap C) ⊴ D (A \cap C),$ a grupy ilorazowe $B (A \cap C) / B (A \cap D)$ oraz $D (A \cap C) / D (B \cap C)$ są izomorficzne.

Dowód

Zbiór $H = {(b c, d c) \in G \times G : b \in B, d \in D, c \in A \cap C}$ jest podgrupą w $G \times G$ ^{[uwaga 5]}. Zgodnie z notacją z lematu Goursata jest $H_{12} = B (A \cap C)$ oraz $H_{22} = D (A \cap C)$ (co pokazuje, że są one grupami w $G$ ), ponadto $H_{11} = {a c : a \in B, c \in A \cap D} = B (A \cap D)$ i podobnie $H_{21} = D (B \cap C) .$ Zatem skoro $H_{i 1} ⊴ H_{i 2},$ to $B (A \cap D)$ jest podgrupą normalną w $B (A \cap C),$ $D (B \cap C)$ jest podgrupą normalną w $D (A \cap C)$ i stąd $H_{12} / H_{11}$ oraz $H_{22} / H_{21}$ są izomorficzne, co kończy dowód.

Uwagi

Szablon:Uwagi

Przypisy

Szablon:Przypisy

Szablon:Teoria grup

Błąd rozszerzenia cite: Istnieje znacznik <ref> dla grupy o nazwie „uwaga”, ale nie odnaleziono odpowiedniego znacznika <references group="uwaga"/>

[goursat-1] Szablon:Cytuj pismo

[lang-6] Szablon:Cytuj

[1]

[uwaga 1]

[uwaga 2]

[uwaga 3]

[uwaga 4]

[2]

[uwaga 5]