Twierdzenie o odpowiedniości

Szablon:Spis treści Twierdzenie o odpowiedniości (znane też jako czwarte twierdzenie o izomorfizmie lub twierdzenie o kracie) – twierdzenie teorii grup opisujące wzajemną odpowiedniość podgrup ustalonej grupy $G$ zawierających podgrupę normalną $N$ z podgrupami grupy ilorazowej $G/N;$ struktura podgrup grupy $G/N$ jest tożsama ze strukturą podgrup grupy $G$ zawierających $N$ (zob. Wnioski).

Niech $\phi :G\twoheadrightarrow G^{\prime }$ będzie homomorfizmem grup $G$ na $G^{\prime }.$ Wówczas istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między zbiorem wszystkich podgrup grupy $G$ zawierających jądro $\ker \phi$ oraz zbioru wszystkich podgrup grupy $G^{\prime }$ – odpowiedniość ta zachowuje zawieranie. Podgrupy normalne w $G$ zawierające $\ker \phi$ odpowiadają podgrupom normalnym w $G^{\prime }$ i na odwrót. Grupy ilorazowe odpowiadających podgrup normalnych są izomorficzne. W ten sposób twierdzenie opisuje monotoniczne połączenie Galois (w istocie: odpowiedniość Galois) między kratą podgrup grupy $G$ a kratą podgrup grupy $G/N.$ Podobne wyniki są prawdziwe dla pierścieni, modułów, przestrzeni liniowych oraz algebr nad ciałami.

Twierdzenie

Szablon:Zobacz też Niech $\phi :G\twoheadrightarrow G^{\prime }$ jest homomorfizmem grup $G$ na $G^{\prime }.$ Wówczas

(1) dla każdej $H⩽G,$ dla której $\ker \phi ⩽H,$ istnieje jednoznacznie wyznaczona podgrupa $H^{\prime }⩽G^{\prime }$;

(2) jeżeli $\ker \phi ⩽H⩽J⩽G,$ to $H^{\prime }⩽J^{\prime }$;

(3) jeżeli $\ker \phi ⩽H⩽G,$ $\ker \phi ⩽J⩽G$ oraz $H^{\prime }⩽J^{\prime },$ to $H⩽J$;

(4) jeżeli $\ker \phi ⩽H⩽G,$ $\ker \phi ⩽J⩽G$ oraz $H^{\prime }=J^{\prime },$ to $H=J$;

(5) jeżeli $S$ jest dowolną podgrupą $G^{\prime },$ to istnieje $H⩽G,$ dla której $\ker \phi ⩽H$ oraz $H^{\prime }=S$;

(6) dla $\ker \phi ⩽H⩽G$ zachodzi $H⊴G$ wtedy i tylko wtedy, gdy $H^{\prime }⊴G^{\prime }$;

(7) jeżeli $\ker \phi ⩽H⊴G$ oraz $H^{\prime }⊴G^{\prime },$ to $G/H\simeq G^{\prime }/H^{\prime }$.

Wnioski

Ważny przypadek szczególny powyższego twierdzenia to przypadek homomorfizmu naturalnego (zob. rozkład grupy ilorazowej); przypadek ten umożliwia wyczerpujący opis podgrup grupy ilorazowej – jego ostatnią zależność określa się jako twierdzenie o ilorazie ilorazu lub, częściej, trzecie (drugie) twierdzenie o izomorfizmie – dzięki poniższemu stwierdzeniu można m.in. przeprowadzić klasyfikację grup ilorazowych grup cyklicznych:

Stwierdzenie

Niech $N⊴G.$ Podgrupy grupy $G/N$ są podgrupami ilorazowymi $S/N,$ gdzie $S$ przebiega podgrupy grupy $G$ spełniające $N⩽S.$ Dokładniej, dla każdej podgrupy $X$ grupy $G/N$ istnieje jednoznacznie wyznaczona podgrupa $S$ grupy $G$ spełniająca $N⩽S,$ dla której $X=G/N.$ Jeżeli $X_1$ i $X_2$ są podgrupami $G/N,$ np. $X_1=S_1/N$ i $X_2=S_2/N,$ gdzie $N⩽S_1⩽G$ i $N⩽S_2⩽G,$ to $X_1⩽X_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $S_1⩽S_2.$ Co więcej $S/N⊴G/N$ wtedy i tylko wtedy, gdy $S⊴G.$ W tym przypadku $G/N/S/N\simeq G/S.$

Dowód

Ponieważ $N⊴G,$ to możliwa jest konstrukcja grupy ilorazowej $G/N.$ Homomorfizm naturalny $\nu :G\to G/N$ jest „na”, można zatem zastosować powyższe twierdzenie – zgodnie z nim dowolna podgrupa w $G/N$ jest postaci $\mathrm{im}{\nu }_S$ dla pewnej $S⩽G,$ gdzie $\ker \nu ⩽S$ (${\nu }_S$ oznacza zawężenie $\nu$ do $S$). Jest

$\mathrm{im}{\nu }_S=\{\nu (s)\in G/N:s\in S\}=\{sN\in G/N:s\in S\}=S/N$

oraz $\ker \nu =N$ na mocy twierdzenia ($S/N$ ma sens, ponieważ $N⊴G$ oraz $N⩽S$ pociągają $N⊴S$). Zatem podgrupy $G/N$ mają postać $S/N,$ gdzie $N⩽S⩽G.$ Zgodnie z częściami (2), (3), (4) twierdzenia $S_1/N⩽S_2/N$ wtedy i tylko wtedy, gdy $S_1⩽S_2$ oraz $S_1\ne S_2.$ Wreszcie $S_1/N⊴G/N$ wtedy i tylko wtedy, gdy $S⊴G$ na mocy części (6) twierdzenia i w tym przypadku $G/N/S/N\simeq G/S$ na mocy (7), co kończy dowód.

W szczególności prawdziwe są też następujące obserwacje:

• jeśli $H⩽G,$ to $[G:H]=[G^{\prime }:H^{\prime }],$ gdzie $[G:H]$ oznacza indeks podgrupy $H$ w grupie $G$ (tj. liczbę warstw podgrupy $H$ w grupie $G$);
• $(A⋓B)/N=A^{\prime }⋓B^{\prime },$ gdzie $A⋓B$ oznacza podgrupę $G$ generowaną przez $A\cup B$;
• $(A\cap B)/N=A^{\prime }\cap B^{\prime };$

przy czym lista ta jest daleko niewyczerpująca, ponieważ większość właściwości podgrup zachowuje się w obrazach bijekcyjnych na podgrupy grup ilorazowych.

Zobacz też

• krata podgrup
• modularność