Twierdzenie Schreiera

Szablon:Spis treści Twierdzenie Schreiera – twierdzenie teorii grup mówiące, że dowolne dwa ciągi podnormalne grupy mają równoważne zagęszczenia, tzn. zagęszczenia o izomorficznych ilorazach, niekoniecznie w tej samej kolejności.

Twierdzenie zostało odkryte przez Ottona Schreiera w 1928 roku w wyniku próby uproszczenia dowodu twierdzenia Jordana-Höldera (dowolne dwa ciągi kompozycyjne danej grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny); sześć lat później Hans Zassenhaus opublikował lemat nazwany jego nazwiskiem w celu ulepszenia dowodu twierdzenia Schreiera – stąd pochodzi rzadsza, zamiennie stosowana nazwa twierdzenia: twierdzenie Schreiera-Zassenhausa. W przypadku uogólnień niekiedy spotyka się też nazwę twierdzenie Jordana-Höldera-Schreiera.

Innym zastosowaniem twierdzenia Schreiera jest możliwość wykazania, że w grupie z (co najmniej jednym) ciągiem kompozycyjnym dowolny ciąg podnormalny można zagęścić do ciągu kompozycyjnego: wystarczy zacząć od ciągów podnormalnego i kompozycyjnego konstruując ich równoważne zagęszczenia zgodnie z twierdzeniem – zagęszczenie ciągu normalnego stanie się ciągiem kompozycyjnym po zastąpieniu wszystkich powtarzających się podgrup w zagęszczeniu pojedynczym egzemplarzem każdej z tych podgrup (zob. lemat do twierdzenia Jordana-Höldera).

Sam autor zasygnalizował w przypisach, że twierdzenie zachodzi również dla grup z operatorami, jednak twierdzenie uogólnia się też na moduły, a nawet kraty modularne (dla których zachodzi lemat Zassenhausa pociągający twierdzenie Schreiera).

Twierdzenie

Szablon:Zobacz też Niech

E = G_{0} ⊴ \dots ⊴ G_{n} = G (g)

oraz

E = H_{0} ⊴ \dots ⊴ H_{m} = G (h)

oznaczają dwa ciągi podnormalne grupy $G$ ( $E$ oznacza podgrupę trywialną).

Wówczas istnieją równoważne ciągi $(g^{'}), (h^{'})$ grupy $G$ będące odpowiednio zagęszczeniami ciągów $(g), (h) .$

Dowód

Szablon:Zobacz też Między każdymi dwiema grupami $G_{i - 1}$ a $G_{i}$ $(i = 1, 2, \dots, n)$ skonstruowany zostanie z ciągu $(h)$ taki ciąg, który będzie zaczynać się od $G_{i - 1}$ i kończyć na $G_{i} .$ Istnieją dwa naturalne sposoby osiągnięcia tego celu: pierwszym jest pomnożenie każdego z wyrazów ciągu $(h)$ przez $G_{i - 1}$ (dzięki temu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od $G_{i - 1}$ ) oraz przecięcie iloczynów z $G_{i}$ (dzięki temu zmieniony ciąg będzie się kończył na $G_{i}$ ); drugim sposobem jest przecięcie każdego z wyrazów $(h)$ z $G_{i}$ (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się kończył na $G_{i}$ ) i pomnożenie przecięć przez $G_{i - 1}$ (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od $G_{i - 1}$ ) – jednak zgodnie z prawem modularności Dedekinda oba te ciągi między $G_{i - 1}$ a $G_{i}$ są identyczne.

Niech $G_{i j} = G_{i - 1} H_{j} \cap G_{i} = G_{i - 1} (H_{j} \cap G_{i})$ i podobnie $H_{i j} = H_{j - 1} G_{i} \cap H_{j} = H_{j - 1} (G_{i} \cap H_{j})$ ( $i = 1, 2, \dots, n;$ $j = 1, 2, \dots, m$ ). Ponieważ $G_{i - 1} ⊴ G_{i},$ to $G_{i - 1} (H_{j} \cap G_{i}) ⩽ G_{i}$ (jako iloczyn półprosty; zob. iloczyn kompleksowy). W ten sposób $G_{i j}$ jest podgrupą w $G_{i}$ i podobnie $H_{i j}$ jest podgrupą w $H_{i} .$ Dlatego

G_{i - 1} = G_{i 0} ⩽ G_{i 1} ⩽ G_{i 2} ⩽ \dots ⩽ G_{i m - 1} ⩽ G_{i m} = G_{i} (g_{i})

oraz

H_{j - 1} = H_{0 j} ⩽ H_{1 j} ⩽ H_{2 j} ⩽ \dots ⩽ H_{n - 1 j} ⩽ H_{n j} = H_{j} (h_{i}) .

Zgodnie z lematem Zassenhausa (przy oznaczeniach $A = G_{i}, B = G_{i - 1}, C = H_{j}, D = H_{j - 1}$ ) otrzymuje się, dla każdego $i = 1, 2, \dots, n;$ $j = 1, 2, \dots, m :$

G_{i - 1} (G_{i} \cap H_{j - 1}) ⊴ G_{i - 1} (G_{i} \cap H_{j}), H_{j - 1} (G_{i - 1} \cap H_{j}) ⊴ H_{j - 1} (G_{i} \cap H_{j})

oraz

G_{i - 1} (G_{i} \cap H) / G_{i - 1} (G_{i} \cap H_{j - 1}) ≃ H_{j - 1} (G_{i} \cap H_{j}) / H_{j - 1} (G_{i - 1} \cap H_{j}) .

Zatem $G_{i j - 1} ⊴ G_{i j}, H_{i - 1 j} ⊴ H_{i j}$ oraz $G_{i j} / G_{i j - 1} ≃ H_{i j} / H_{i - 1 j} .$ Stąd $(g_{i})$ jest ciągiem między $G_{i - 1}$ a $G_{i},$ a $(h_{j})$ jest ciągiem między $H_{j - 1}$ oraz $H_{j} .$ Zapisując kolejno wyrazy $(g_{1}), (g_{2}), \dots, (g_{n})$ otrzymuje się ciąg $(g^{'})$ grupy $G$ o $n m$ ilorazach; podobnie zapisując kolejno wyrazy $(h_{1}), (h_{2}), \dots, (h_{m})$ otrzymuje się ciąg $(h^{'})$ grupy $H$ o $m n$ ilorazach. Ciąg $(g^{'})$ jest zagęszczeniem $(g),$ a $(h^{'})$ jest zagęszczeniem $(h) .$ Ostatecznie, wobec istnienia izomorfizmów $G_{i j} / G_{i j - 1} ≃ H_{i j} / H_{i - 1 j}$ ciągi $(g^{'})$ i $(h^{'})$ są równoważne.

Zobacz też

Bibliografia

Szablon:Cytuj książkę

Szablon:Teoria grup

Twierdzenie Schreiera

Twierdzenie

Dowód

Zobacz też

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Szukaj