Podgrupa torsyjna

Szablon:Spis treści Podgrupa torsyjna – podgrupa danej grupy składająca się ze wszystkich elementów skończonego rzędu. Grupę abelową nazywa się torsyjną albo periodyczną, jeżeli każdy jej element ma skończony rząd i beztorsyjną, jeśli dowolny nietożsamościowy element tej grupy jest nieskończonego rzędu (istnieją więc grupy, które nie są ani torsyjne, ani beztorsyjne). Podgrupę torsyjną oznacza się symbolem $A_{T} .$ Niekiedy spotyka się również nazwę maksymalna podgrupa torsyjna zaznaczająca, iż podgrupa składa się z wszystkich elementów torsyjnych (w dalszej części artykułów pod nazwą „podgrupa torsyjna” będzie się rozumieć podgrupę o właśnie tych własnościach).

Dowód zamkniętości $A_{T}$ ze względu na dodawanie opiera się na przemienności dodawania (zob. sekcja Przykłady).

Jeżeli $A$ jest abelowa, to jej podgrupa torsyjna $T$ jest całkowicie niezmienniczą podgrupą grupy $A,$ a jej grupa ilorazowa $A / T$ jest beztorsyjna (jest to maksymalna grupa o tej własności, przy czym jest ona wyznaczona jednoznacznie). Istnieje funktor kowariantny $T$ z kategorii grup abelowych w kategorię grup torsyjnych, który odwzorowuje każdą grupę na jej podgrupę torsyjną, a każdy homomorfizm na jego zawężenie do podgrupy torsyjnej. Z tego względu podgrupę torsyjną grupy $A$ oznacza się czasem symbolem $T (A) .$ Istnieje również inny funktor kowariantny z kategorii grup abelowych w kategorię grup beztorsyjnych przekształcający każdą grupę w jej iloraz przez jej podgrupę torsyjną i każdy homomorfizm w odpowiednio indukowany homomorfizm (który jest dobrze określony, co dość łatwo sprawdzić).

Jeżeli $A$ jest skończenie generowana i abelowa, to można ją zapisać jako sumę prostą jej podgrupy torsyjnej $T$ i jej podgrupy beztorsyjnej (nie jest to jednak prawdą w przypadku nieskończenie generowanych grup abelowych). W dowolnym rozkładzie $A$ na sumę prostą podgrupy torsyjnej $S$ i jej części beztorsyjnej $S$ musi być równa $T$ (część beztorsyjna nie jest wyznaczona jednoznacznie). Jest to kluczowa obserwacja przy klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych.

Podgrupa torsyjna p-potęgowa

Dla dowolnej grupy abelowej $A$ i liczby pierwszej $p$ zbiór $A_{T_{p}}$ elementów $A$ mających rząd wyrażający się pewną potęgą liczby $p$ tworzy podgrupę nazywaną podgrupą torsyjną p-potęgowa lub, mniej precyzyjnie, podgrupą p-torsyjną bądź p-składową:

A_{T_{p}} = {a \in A : \exists_{n \in ℕ} p^{n} a = 0} .

Na podstawie odpowiedniego faktu dotyczącego grup torsyjnych podgrupa torsyjna $A_{T}$ jest izomorficzna z sumą prostą jej p-potęgowych podgrup torsyjnych wziętą po wszystkich liczbach pierwszych $p :$

A_{T} = ⨁_{p \in ℙ} A_{T_{p}} .

Jeżeli $A$ jest skończoną grupą abelową, to $A_{T_{p}}$ pokrywa się z jednoznacznie wyznaczoną p-podgrupą Sylowa grupy $A .$

Każda p-potęgowa podgrupa torsyjna grupy $A$ jest podgrupą całkowicie niezmienniczą. Więcej, dowolny homomorfizm między grupami abelowymi odwzorowuje każdą z p-potęgowych podgrup torsyjnych na odpowiednią p-potęgową podgrupę torsyjną.

Stąd, dla każdej liczby pierwszej $p$ istnieje funktor $T_{p}$ z kategorii grup abelowych w kategorię p-potęgowych grup torsyjnych, który odwzorowuje każdą grupę na jej p-potęgową podgrupę torsyjną i zawęża każdy homomorfizm do p-potęgowych podgrup torsyjnych. Stąd pochodzi również inne oznaczenie tych podgrup, mianowicie $T_{p} (A) .$ Iloczyn przebiegający zbiór wszystkich liczb pierwszych zawężeń tych funktorów do kategorii grup torsyjnych jest funktorem wiernym z kategorii grup torsyjnych w iloczyn przebiegający wszystkie liczby pierwsze kategorii grup p-torsyjnych. W pewnym sensie oznacza to, że osobne studiowanie grup p-torsyjnych w ogólności mówi wszystko o grupach torsyjnych i w ogólności: iż teoria grup torsyjnych redukuje się do teorii p-grup.

Przykłady i dalsze wyniki

Podzbiór torsyjny grupy nieabelowej nie jest, w ogólności, podgrupą; w tym kontekście mówi się o części torsyjnej. Na przykład w nieskończonej grupie diedralnej o prezentacji
$⟨ x, y : x^{2} = y^{2} = 1 ⟩$

element

x y

jest iloczynem dwóch elementów torsyjnych, ale ma rząd nieskończony.

Elementy torsyjne w grupie nilpotentnej tworzą podgrupę normalną^[1].
Z definicji każda skończona grupa abelowa jest grupą torsyjną. Nie każda grupa torsyjna jest jednak skończona: niech dana będzie suma prosta przeliczalnie wiele egzemplarzy grup cyklicznych $ℤ_{2};$ jest to grupa torsyjna, ponieważ każdy element ma rząd równy 2. W ten sposób w grupach torsyjnych może być brak górnego ograniczenia względem rzędów elementów, o ile nie jest ona skończenie generowana, jak to widać na przykładzie grupy ilorazowej $ℚ / ℤ .$
Każda grupa abelowa wolna jest beztorsyjna, odwrotne twierdzenie jest nieprawdziwe: przykładem może być grupa addytywna liczb wymiernych $ℚ .$
Nawet jeśli $A$ nie jest skończenie generowana, to rozmiar jej części beztorsyjnej jest jednoznacznie wyznaczony, jak to bliżej przedstawiono w artykule dotyczącym rangi grupy abelowej.
Grupa abelowa $A$ jest beztorsyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest płaska jako $ℤ$ -moduł, co oznacza, że jeśli $C$ jest podgrupą pewnej grupy abelowej $B,$ to przekształcenie naturalne z iloczynu tensorowego $C \otimes A$ w $B \otimes A$ jest różnowartościowe.
Wzięcie iloczynu tensorowego grupy $A$ z $ℚ$ (lub dowolną inną grupą podzielną) gubi jej część torsyjną. Oznacza to, że jeśli $T$ jest grupą torsyjną, to $T \otimes ℚ = 0 .$ Dla dowolnej grupy abelowej $A$ o podgrupie torsyjnej $T$ zachodzi
$A \otimes ℚ = A / T \otimes ℚ .$