Grupa diedralna

Płatki śniegu przejawiają symetrię dwuścienną sześciokąta foremnego

Grupa diedralna – grupa izometrii płaszczyznowych wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną). Można ją także traktować jako grupę izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.

Ponieważ dla $n⩾3$ grupa symetrii $n$-kąta foremnego ma $2n$ elementów, to spotyka się dwa sposoby oznaczania tej grupy:

• symbolem ${\mathrm{D}}_n,$ który wyróżnia liczbę krawędzi wielokąta (tj. stopień);
• ${\mathrm{D}}_{2n},$ gdzie kładzie się nacisk na liczbę jej elementów (tj. rząd).

W dalszej części artykułu stosowana będzie pierwsza z notacji.

Definicję można rozszerzyć również na mniejsze od $3$ liczby naturalne: jeśli $n=2,$ to utożsamia się ją z grupą czwórkową Kleina; gdy $n=1,$ to grupa ta jest izomorficzna z dwuelementową grupą cykliczną $2$ (jedyną grupą tego rzędu); dla $n=0$ przyjmuje się, iż jest to grupa trywialna.

Elementy i generatory

Grupa diedralna trójkąta równobocznego składa się z trzech obrotów (o 120°, 240° i 360°) wokół środka tego trójkąta zamieniających cyklicznie kolory wierzchołków i trzech symetrii osiowych (przechodzących przez każdy wierzchołek i środek przeciwległego boku) zamieniających kolory dwóch wierzchołków przy zachowaniu koloru trzeciego – można wyobrażać je sobie jako obrót o 180° wokół osi symetrii w przestrzeni trójwymiarowej.

Szablon:Zobacz też Niech $n⩾2$ oraz $\mathrm{r}$ oznacza obrót płaszczyzny o kąt $\frac{360^{\circ }}{n}$ wokół ustalonego jej punktu $p,$ zaś $\mathrm{s}$ będzie jej dowolną symetrią osiową przechodzącą przez $p.$ Ponieważ $k$-krotne złożenie $\mathrm{r}$ ze sobą jest w istocie obrotem o $\frac{360^{\circ }\cdot k}{n};$ w szczególności $n$-krotne złożenie $\mathrm{r}$ jest obrotem o kąt pełny, który jest identycznością, tzn. ${\mathrm{r}}^n=\mathrm{i}\mathrm{d},$ to $\mathrm{r}$ jest elementem rzędu $n$ grupy ${\mathrm{D}}_n.$ Podobnie $\mathrm{s}$ jest elementem rzędu drugiego, gdyż ${\mathrm{s}}^2=\mathrm{i}\mathrm{d}$ (z punktu widzenia teorii grup symetria osiowa jest więc transpozycją; z punktu widzenia geometrii jest inwolucją, gdyż sama stanowi swoją odwrotność). O wyniku złożenia obrotu $\mathrm{r}$ z symetrią osiową $\mathrm{s}$ można myśleć na kilka sposobów:

• symetria osiowa zmienia orientację płaszczyzny na przeciwną, zatem obrót nią poprzedzony będzie odbywał się w przeciwnym kierunku niż wyjściowy, kolejna symetria osiowa przywraca orientację płaszczyzny – w ten sposób

${\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{-1}=\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{s}={\mathrm{r}}^{-1};$

• z drugiej strony obrót „wybiera” oś symetrii po nim zastosowanej, kolejny obrót „przywracający” pierwotną oś musi być odwrotny ze względu na przyłożoną symetrię, a więc identyczny z pierwszym obrotem, tzn.

$\mathrm{s}={\mathrm{r}}^{-1}{\mathrm{s}\mathrm{r}}^{-1};$

• podobnie rozumując można uzasadnić tożsamość

$\mathrm{r}\mathrm{s}={\mathrm{s}\mathrm{r}}^{-1}$

mówiącą o tym, że obrót poprzedzony symetrią daje ten sam wynik, co symetria poprzedzona obrotem w przeciwnym kierunku. W szczególności dla $n⩾3$ grupa ${\mathrm{D}}_n$ nie jest abelowa (przemienna), gdyż wtedy $\mathrm{r}\ne {\mathrm{r}}^{-1}.$

Rozpatrując wyłącznie przekształcenia obrotów wokół wspólnego punktu i symetrii o osiach przechodzących przez ten wyróżniony punkt, jak ma to miejsce w wyżej opisywanej sytuacji, można zauważyć, że złożenie dwóch obrotów bądź dwóch symetrii jest obrotem, a złożenie symetrii z obrotem bądź obrotu z symetrią jest symetrią – w ten sposób przekształcenia tworzą zbiór zamknięty ze względu na ich składanie. Ponieważ składanie jest łączne, a każde ze składanych przekształceń ma przekształcenie do niego odwrotne, to przekształcenia te tworzą grupę. Dokładniej: z danego obrotu $\mathrm{r}$ można uzyskać $n$ obrotów (wliczając w to sam obrót $\mathrm{r}$ i obrót trywialny $\mathrm{i}\mathrm{d}$) poprzez składanie ich ze sobą, a składając symetrię $\mathrm{s}$ z tymi obrotami otrzymuje się $n$ symetrii (wliczając w to symetrię $\mathrm{s}$ przy obrocie trywialnym $\mathrm{i}\mathrm{d}$), to grupa tych przekształceń ma $2n$ elementów postaci $\mathrm{r},{\mathrm{r}}^2,\dots ,{\mathrm{r}}^n,\mathrm{s}\mathrm{r},{\mathrm{s}\mathrm{r}}^2,\dots ,{\mathrm{s}\mathrm{r}}^n,$ gdzie ${\mathrm{r}}^n=\mathrm{i}\mathrm{d}$ oraz ${\mathrm{s}\mathrm{r}}^n=\mathrm{s}.$

Wspomniana grupa może być rozpatrywana jako podgrupa grupy wszystkich symetrii $n$-kąta foremnego. Jak pokazano wyżej, jest ona generowana przez obrót $\mathrm{r}$ rzędu $n$ i symetrię $\mathrm{s}$ rzędu $2$ bądź przez dwie symetrie $\mathrm{s},\mathrm{r}\mathrm{s}$ rzędu $2$.

Własności i charakteryzacja

Rozkład grupy na klasy sprzężoności, tzn. podzbiory elementów zamkniętych ze względu na branie sprzężeń (automorfizmów wewnętrznych), zależy od jej stopnia $n$:

• dla nieparzystego:

  $\{\mathrm{i}\mathrm{d}\},\left\{{\mathrm{r}}^{\pm 1}\right\},\dots ,\left\{{\mathrm{r}}^{\pm (n-1)/2}\right\},\{{\mathrm{r}}^{i}s:0⩽i<n\};$

• dla parzystego:

  $\{\mathrm{i}\mathrm{d}\},\left\{{\mathrm{r}}^{\pm 1}\right\},\dots ,\left\{{\mathrm{r}}^{\pm (n/2-1)}\right\},\left\{{\mathrm{r}}^{n/2}\right\},\{{\mathrm{r}}^{2i}s:0⩽i<\frac{n}{2}\},\{{\mathrm{r}}^{2i+1}s:0⩽i<\frac{n}{2}\}.$

Parzyste izometrie własne foremnego dwuścianu sześciokątnego na sferze (tj. przedstawionego jako wielościan sferyczny) tworzą grupę o tej samej strukturze, co grupa wszystkich izometrii własnych sześciokąta foremnego.

Klasy te mają odpowiednio $1,2,\dots ,2,n$ oraz $1,2,\dots ,2,1,n/2,n/2$ elementów. Dla $n⩾3$ centrum grupy ${\mathrm{D}}_n$ jest trywialne w przypadku nieparzystym i równe $\{\mathrm{i}\mathrm{d},{\mathrm{r}}^{n/2}\}$ w przypadku parzystym. Wynika stąd, że jeśli $n⩾6$ jest dwukrotnością liczby nieparzystej, to ${\mathrm{D}}_n\simeq {\mathrm{D}}_{n/2}\times {\mathbb{Z}}_2$; w ogólności ${\mathrm{D}}_n$ jest zawsze izomorficzna z iloczynem półprostym ${\mathbb{Z}}_n⋊{\mathbb{Z}}_2.$ Komutant grupy ${\mathrm{D}}_n$ to $⟨r^2⟩$.

Jeśli $G=⟨a,b⟩$ (z elementem neutralnym $e$), gdzie $a^n=e$ dla pewnego $n⩾3$ oraz $b^2=e,$ a ponadto $ba{b}^{-1}=a^{-1},$ to istnieje epimorfizm ${\mathrm{D}}_n\to G;$ jeśli $|G|=2n,$ to epimorfizm ten jest izomorfizmem. Wspomniany epimorfizm jest wyznaczony jednoznacznie, zatem ${\mathrm{D}}_n$ jest uniwersalna jako grupa o dwóch generatorach spełniających jedno z trzech równań z poprzedniej sekcji. Z twierdzenia tego wynika istnienie reprezentacji ${\mathrm{D}}_n$ w postaci grupy macierzy stopnia $2$ nad ${\mathbb{Z}}_n,$ mianowicie zbiór macierzy

$\widetilde{{\mathrm{D}}_n}=\{\left[\begin{array}{cc}\pm 1& c\\ 0& 1\end{array}\right]:c\in {\mathbb{Z}}_n\}$

tworzy podgrupę pełnej grupy liniowej $\mathrm{G}\mathrm{L}(2,{\mathbb{Z}}_n);$ grupę tę można również przedstawić za pomocą wielomianów nad ${\mathbb{Z}}_n$ postaci $\mathrm{f}(x)=\epsilon x+c,$ gdzie $\epsilon =\pm 1,$ a wyraz $c$ jest dowolny – składanie tego rodzaju wielomianów liniowych odpowiada mnożeniu powyższych macierzy; przedstawienia tego nie należy mylić z geometryczną reprezentacją ${\mathrm{D}}_n$ jako podgrupy $\mathrm{G}\mathrm{L}(2,ℝ)$ w postaci izometrii własnych ${ℝ}^2$ generowaną za pomocą macierzy obrotu i odbicia,

$\left[\begin{array}{cc}\cos \frac{2\pi }{n}& -\sin \frac{2\pi }{n}\\ \sin \frac{2\pi }{n}& \cos \frac{2\pi }{n}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right];$

macierze te, traktowane jako liczby zespolone, odpowiadają pierwiastkowi pierwotnemu z jedynki stopnia $n$ oraz sprzężeniu zespolonemu tworzącym grupę (z działaniem mnożenia zespolonego) izomorficzną z ${\mathrm{D}}_n.$

Jak opisano to w poprzedniej sekcji, grupa diedralna może być generowana przez dwa elementy rzędu $2.$ Niech $G=⟨x,y⟩,$ przy czym $x^2=y^2=e.$ Jeśli $x$ oraz $y$ komutują (tzn. $xy=yx$), to $G=\{e,x,y,xy\}$ – grupa ta jest izomorficzna z grupą czwórkową, o ile $x\ne y;$ w przeciwnym przypadku $G=\{e,x\}=⟨x⟩$ jest grupą cykliczną rzędu $2.$ Jeżeli $x$ i $y$ nie komutują, to $G$ ma strukturę grupy diedralnej, tzn. jeśli $G$ jest skończoną grupą nieabelową generowaną przez dwa elementy rzędu $2,$ to jest ona izomorficzna z grupą diedralną. Na podstawie tych dwóch obserwacji można przyjąć następującą definicję:

Ogólna definicja grupy diedralnej

Grupa skończona generowana przez dwa elementy drugiego rzędu.

Większość własności z poprzedniej sekcji obowiązuje dla $n>0,$ a nie tylko $n⩾3$ – wyjątkami są stwierdzenie dotyczące postaci centrum oraz modelu ${\mathrm{D}}_n$ nad ${\mathbb{Z}}_n;$ ponadto ${\mathrm{D}}_n$ nie można wtedy zanurzyć w ${\mathrm{S}}_n,$ gdyż $2n>n!$ dla $n⩽2.$

W dowolnej grupie skończonej zawierającej dwa elementy $x,y$ rzędu $2$ element $x$ musi być sprzężony z $y,$ bądź $x$ i $y$ komutują ze wspólnym elementem rzędu $2.$ Dowolny nietrywialny obraz homomorficzny grupy diedralnej jest grupą diedralną.

Struktura podgrup

Szablon:Zobacz też Dowolna podgrupa grupy ${\mathrm{D}}_n$ jest:

• cykliczna, postaci $⟨{\mathrm{r}}^d⟩,$ gdzie $d|n,$ i indeksu $2d;$ bądź
• diedralna, postaci $⟨{\mathrm{r}}^d,{\mathrm{r}}^i\mathrm{s}⟩,$ gdzie $d|n$ oraz $0⩽i<d,$ i indeksu $d;$

postaci podgrup są przy tym jednoznaczne. Jeśli $n$ jest nieparzysta i $m|2n,$ to istnieje $m$ podgrup ${\mathrm{D}}_n$ indeksu $m$ dla nieparzystej $m$ (sprzężonych z $⟨{\mathrm{r}}^m,\mathrm{s}⟩$) oraz jedna podgrupa ${\mathrm{D}}_n$ indeksu $m$ dla parzystego $m$ (równej $⟨{\mathrm{r}}^{m/2}⟩$), a ponadto jeżeli $n$ jest parzysta i $m|2n,$ to

• jeśli $m$ jest nieparzysta, to istnieje $m$ podgrup grupy ${\mathrm{D}}_n$ indeksu $m$ (sprzężonych z $⟨{\mathrm{r}}^m,\mathrm{s}⟩$),
• jeśli $m$ jest parzysta i nie dzieli $n,$ to istnieje tylko jedna podgrupa grupy ${\mathrm{D}}_n$ indeksu $m$ (równa $⟨{\mathrm{r}}^{m/2}⟩$),
• jeśli $m$ jest parzysta i $m|n,$ to istnieje $m+1$ podgrup grupy ${\mathrm{D}}_n$ indeksu $m$ (i dowolna podgrupa indeksu $m$ jest równa $⟨{\mathrm{r}}^{m/2}⟩$ bądź sprzężona z dokładnie jedną z grup $⟨{\mathrm{r}}^m,\mathrm{s}⟩$ lub $⟨{\mathrm{r}}^m,\mathrm{r}\mathrm{s}⟩$).

Wynika stąd, że jeżeli $n$ jest nieparzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w ${\mathrm{D}}_n$ są $⟨{\mathrm{r}}^d⟩$ dla $d|n$ − są to grupy parzystego indeksu – a jeżeli $n$ jest parzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w ${\mathrm{D}}_n$ są $⟨{\mathrm{r}}^d⟩$ indeksu $d,$ gdy $d|n$ oraz $⟨{\mathrm{r}}^2,\mathrm{s}⟩$ i $⟨{\mathrm{r}}^2,\mathrm{r}\mathrm{s}⟩$ indeksu $2.$ W szczególności istnieje przynajmniej jedna podgrupa normalna każdego indeksu w ${\mathrm{D}}_n$ poza trzema podgrupami normalnymi $⟨\mathrm{r}⟩,⟨{\mathrm{r}}^2,\mathrm{s}⟩,⟨{\mathrm{r}}^2,\mathrm{r}\mathrm{s}⟩$ indeksu $2$ dla parzystego $n.$

Łączna liczba podgrup w ${\mathrm{D}}_n$ dla $n⩾3$ wynosi $d(n)+\sigma (n),$ gdzie $d(n)$ oznacza liczbę wszystkich dzielników liczby $n,$ zaś $\sigma (n)$ oznacza ich sumę (zob. liczba dzielników i suma dzielników).

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-09-05].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-09-05].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-09-05].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-09-05].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-09-05].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-09-05].
• Szablon:Otwarty dostęp Dihedral group Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-05].

Szablon:Teoria grup