Funkcja τ

Wykres funkcji dla argumentów od 1 do 250

Funkcja τ (tau) – funkcja na zbiorze dodatnich liczb naturalnych, używana w teorii liczb. Jej wartość to liczba dzielników danej liczby.

Dla dowolnej liczby $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ funkcja $\tau (n)$ określona jest jako:

$\tau (n):=|\{d\in \mathbb{N}:d|n\}|.$

Wzór można też zapisać inaczej:

$\tau (n)\equiv {\sigma }_0(n)=\sum _{d|n}1.$

Uogólnieniem funkcji tau są funkcje σ (sigma); funkcja tau to funkcja sigma stopnia zerowegoSzablon:Fakt.

Własności

Wiedząc, że funkcja ta jest multiplikatywna oraz że dla dowolnej liczby pierwszej $p$ i dowolnej liczby całkowitej nieujemnej $a$ zachodzi:

$\tau (p^a)=a+1,$

(ponieważ dzielnikami liczby $p^a$ są: $1,p,p^2,\dots ,p^a$) otrzymujemy wzór ogólny dla funkcji $\tau (n).$

Niech $n=\prod _{i=1}^m{p}_i^{e_i},$

gdzie:

$m$ – liczba czynników pierwszych,

$e_i$ – wykładniki w rozkładzie na czynniki pierwsze,

$p_i$ – parami różne czynniki pierwsze.

Wtedy:

$\tau (n)=\prod _{i=1}^m(e_i+1).$

Przykład

Jeśli $n=24,$ to mamy dwa dzielniki pierwsze: $p_1=2,p_2=3,$ ponieważ $24=2^3\cdot 3^1,$ czyli $e_1=3,e_2=1.$ Można zatem obliczyć $\tau (24)$ w sposób następujący:

$\tau (24)=\prod _{i=1}^2(e_i+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8.$

Faktycznie, zbiór dzielników liczby 24 to zbiór $\{1,2,4,8,3,6,12,24\},$ którego moc wynosi 8.

Pierwsze wartości przyjmowane przez funkcję Szablon:OEIS to:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Dzielniki liczby $n$	1	1, 2	1, 3	1, 2, 4	1, 5	1, 2, 3, 6	1, 7	1, 2, 4, 8	1, 3, 9	1, 2, 5, 10	1, 11	1, 2, 3, 4, 6, 12
$d(n)$	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4	2	6